Zdroje chýb

Reálny technický problém môžeme vyriešiť napríklad experimentálne (meraním) alebo pomocou matematických prostriedkov. Pri matematickom riešení problému je na začiatku nutné najskôr sformulovať matematický model daného problému, teda matematickú úlohu. Pod touto úlohou rozumieme jednoznačný a zrozumiteľný funkčný vzťah medzi danými a hľadanými objektami. Pri vytváraní matematického modelu reálneho problému musíme vždy prikročiť k určitej idealizácii skutočnosti. Rozdiel riešenia idealizovaného problému a riešenia skutočného reálneho problému nazývame chybou matematického modelu. Z veľkosti tejto chyby môžeme spätne posúdiť vhodnosť alebo nevhodnosť zvoleného matematického modelu.
Postup na získanie riešenia matematickej úlohy môže byť tiež rôzny. V tejto súvislosti hovoríme o exaktných, približných a numerických metódach. Numerik -- optimista si zvyčajne kladie otázku, aké presné sú vypočítané výsledky, kým numerik -- pesimista sa spytuje, akej chyby sme sa dopustili. Tieto dve otázky sú, samozrejme, o tom istom, pretože skutočne len veľmi zriedkavo dosiahneme presné riešenie s presnými dátami. Ak na riešenie matematickej úlohy použijeme metódu, ktorá nám neposkytne presné riešenie, potom chybu, ktorej sa dopustíme voláme chybou metódy. Príkladom takejto chyby môže byť chyba, ktorej sa dopustíme, ak za limitu nekonečnej postupnosti vezmeme niektorý jej člen s dostatočne veľkým indexom. Pomocou numerických metód sa daná matematická úloha prevedie na úlohu jednoduchšiu. Numerická úloha je jasný a zrozumiteľný popis funkčného vzťahu medzi konečným počtom vstupných a výstupných dát. Numerická úloha je teda taký matematický model reálneho problému, ktorý môže byť zrealizovaný na počítači. Rozdiel riešenia matematickej a numerickej úlohy nazývame chybou aproximácie. Ide tiež o prípad chyby metódy. Príkladom takýchto chýb sú:

• Výpočet elementárnej funkcie (napr. $\sin (x)$) z prvých $n$ členov jej nekonečného Taylorovho radu.
• Aproximácia výpočtu určitého integrálu funkcie súčtom konečného počtu hodnôt (napr. lichobežníkové pravidlo).
• Riešenie diferenciálnej rovnice tým, že derivácie nahradíme ich aproximáciami (napr. diferenčnými podielmi).

K posúdeniu presnosti výsledkov musíme ešte vziať do úvahy chyby vo vstupných dátach, ktoré sú dané jednak chybami merania dát a jednak sú spôsobené zobrazením vstupných údajov do množiny počítača. Príkladom takýchto chýb môžu byť napríklad nepresnosti v zadávaní fyzikálnych konštánt (tie sú ale spravidla zanedbateľné) alebo chyby v empirických hodnotách, ktoré môžu byť zdrojom vážnych chýb a treba ich starostlivo preskúmať. Keďže tieto empirické chyby bývajú obvykle náhodné, ich analytické vyšetrenie býva väčšinou dosť obtiažne.
Nakoniec sú to chyby zaokrúhľovacie, kde zahrňujeme všetky nepresnosti spôsobené realizáciou algoritmu v počítači, vrátane nepresného vykonávania aritmetických operácií. Podobne ako empirické chyby vo vstupných údajoch, aj zaokrúhľovacia chyba má náhodný charakter, a preto nie je ľahké ju vyšetriť.
Vo výpočtoch pri hľadaní riešenia sme často nútení nahradiť číslo $x$

jeho približnou hodnotou $\bar x$. Číslo $\bar x$ potom nazývame aproximáciou čísla $x$ a platí:

Presné číslo = aproximácia + chyba

Príklad 4.

$$\sqrt 2 = 1,414214 + \hbox{ chyba}$$

$$\pi =3,1415926536+ \hbox{ chyba}$$

$\clubsuit$

Tento rozdiel $x-\bar x = \Delta x$ nazývame absolútnou chybou aproximácie $\bar x$. Číslo $\varepsilon (\bar x) \geq 0$, pre ktoré platí

$$\vert x-\bar x \vert \leq \varepsilon(\bar x),$$

nazývame odhadom absolútnej chyby.
Presné číslo $x$ sa nachádza v intervale

$$\bar x-\varepsilon(\bar x) \leq x \leq \bar x +\varepsilon(\bar x) .$$

Číslo

$$\frac{\Delta x}{x} =\frac{x-\bar x}{x}, \ \ x\neq 0,$$

nazývame relatívnou chybou aproximácie $\bar x$. Relatívna chyba sa často uvádza v percentách. V praxi, najmä ak je presná hodnota neznáma, často namiesto nej v podiele používame jej aproximáciu

$$\frac{\Delta x}{\bar x} =\frac{x-\bar x}{\bar x}, \ \ \bar x\neq 0.$$ (1.2)

Príklad 5. Bežná aproximácia $\sqrt 2$ je číslo $1,414$. Potom relatívna chyba je

$$\frac{0,002}{1,414} =0,00014.$$

$\clubsuit$

Číslo $\delta(\bar x)$, pre ktoré platí

$$\left\vert \frac{x-\bar x}{x} \right\vert \leq \frac{\varepsilon (\bar x)} {\vert x\vert} = \delta (\bar x),$$

nazývame odhadom relatívnej chyby.
Vzhľadom na vzťah (1.2) platí nasledujúci odhad:

$$\bar x (1-\delta(\bar x) ) \leq x \leq \bar x (1+\delta(\bar x))$$

Príklad 6. Pre $x = \pi = 3,14159 \dots$, $\bar x = 3,14$ je $\Delta x = 0,00159 \dots$, $\varepsilon(\bar x) = 2.10^{-3}.$ Ďalej

$$\frac{\Delta x}{x} \approx \frac{\Delta x}{\bar x} \ \approx 0,0506 \%.$$

$\clubsuit$

Príklad 7. Uhol nameraný s pomocou teodolitu je v rozpätí $22^{\circ } 20^{'} 30^{''} \pm 30^{''}$. Aká je relatívna chyba merania?

Riešenie:

$$\frac{\Delta x}{\bar x} = \frac{30^{''} }{22^{\circ} 20^{'} 30^{''}} \cdot 100 \% = 0,004 \%$$

$\clubsuit$

Príklad 8. Obsah štvorca je $25,16\ cm^2$ s presnosťou do $0,01\ cm^2$. S akou relatívnou chybou môžeme určiť stranu štvorca?

Riešenie: Hľadaná strana je $x= \sqrt{25,16}$. Relatívna chyba strany štvorca je

$$\frac{\Delta x}{x} = \frac{ \sqrt{25,16+0,01}-\sqrt{25,16}}{\sqrt{25,16}} \cong \frac{1}{2}\frac{0,01}{25,16} = 0,0002.$$

$\clubsuit$

Veta 1.3   Nech sú čísla $x_1, x_2, \dots, x_n$ aproximáciami čísel $X_1,X_2, \dots, X_n$ a také, že pre každú aproximáciu najväčšia možná chyba je $E$. Potom najväčšia možná chyba pre sumu $x_i, i=1,\dots,n$ je $n. E$.