Výsledky cvičení

1. Nie.
2. Nie, áno, nie.
3. Áno, nie, áno, nie, nie.
4. Vzájomná poloha dvoch priamok v rovine. Tie sú buď totožné (sústava má nekonečne veľa riešení), rovnobežné (sústava nemá riešenie) alebo sa pretínajú v jednom bode (sústava má práve jedno riešenie). V prípade $b_1 = b_2 = 0$, sú to priamky prechádzajúce začiatkom súradnej sústavy. Majú buď jeden spoločný bod, alebo sú totožné. Vzájomná poloha troch rovín v priestore.
5. Napríklad :
a) $x + y = 1 , x - y = 3$,
b) $x + y = 1 , 2x + 2y = 3$,
c) $x + y = 1 , 2x + 2y = 2$.
6. Prvá sústava má jediné riešenie ${\bf r}=(5147/1000, 0)^T$. Druhá sústava má nekonečne veľa riešení.Pre $t \in {\bf R}$, sú to vektory tvaru ${\bf r}=(5147/1000 - (687/500)t, t)^T$.
7.
a) Nie je riešiteľná,
b) je riešiteľná,
c) nie je riešiteľná,
d) je riešiteľná,
e) nie je riešiteľná,
f) nie je riešiteľná.
8.
a) ${\bf r } = ( 34/19, -33/19 )^T$,
b) nie je možné riešiť Cramerovým pravidlom,
c) nie je možné riešiť Cramerovým pravidlom,
d) ${\bf r } = (-3/20, 8/5)^T$,
e) nie je možné riešiť Cramerovým pravidlom,
f) ${\bf r } = (14, 9)^T$,
g) nie je možné riešiť Cramerovým pravidlom,
h) ${\bf r } = (4, 3)^T$,
ch) ${\bf r } = (100/(50 \pi - 157), 4(25 \pi -157)/ (50 \pi -157))^T$.
9.
a) ${\bf r } = (-1, 2, 3)^T$,
b) nie je možné riešiť Cramerovým pravidlom,
c) nie je možné riešiť Cramerovým pravidlom,
d) ${\bf r } = (2, 1, -3)^T$,
e) ${\bf r } = (1, -2, 3)^T$,
f) ${\bf r } = (4, 1, -3)^T$,
g) nie je možné riešiť Cramerovým pravidlom,
h) ${\bf r } = (0, 0, 0)^T$.
10.
a) $s,t :(4 - st) \neq 0$, ${\bf r } = ( 4/(4-st), -t/(4-st))^T$,
b) $s,t :(s^2 - t^2) \neq 0$, ${\bf r } = ((s-3t)/(s^2-t^2),(3s-t)/(s^2-t^2))^T$,
c) $s,t$ ľubovoľné , ${\bf r } =( (9s+4t-3)/7, -(5s+3t-4)/7)^T$,
d) $s$ ľubovoľné, $t : t \neq -1$ , ${\bf r } = ((u+3)/(t+1), ((s(u+3)+t(3u-2)-11)/(t+1), (s(u+3)+2(t(u-1)-4))/(t+1))^T$,
e) $s , t , u$ ľubovoľné ${\bf r} = ( (t-u-1)/2, (4s-t-4u-7)/3, u-s+2)^T$.
11.
a) ${\bf r }=(2, -1)^T$,
b) ${\bf r }=(11, 9/2)^T$,
c) ${\bf r }=(31/7, -15/7)^T$,
d) ${\bf r }=(2, 3, 2)^T$,
e) ${\bf r }=(53/22, 7/22, -3/11)^T$,
f) ${\bf r }=(7/11, -3/22, 21/22)^T$,
g) ${\bf r }=(5, 3, -2)^T$,
h) ${\bf r }=(5/16, 1/5, -1/40)^T$,
i) ${\bf r }=(4, 3/2, 1/5)^T$,
j) ${\bf r }=(-12, 9, 4)^T$,
k) ${\bf r }=(3/2, 5/8, -3/4)^T$.
12.
a) X = $\left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$,
b) pre každé $s, t \epsilon {\bf R}$ je riešením matica
X = $\left( \begin{array}{rr} (1-3s)/2 & (4-3t)/2 \\ s & t \end{array} \right)$,
c) taká matica X neexistuje,
d) X = $\left( \begin{array}{rr} 14/23 & -15/23 \\ -10/23 & 14/23 \end{array} \right)$,
e) X = $\left( \begin{array}{rrr} 5 & -2 & -1 \\ -1 & 5 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} \right)$,
f) X = $\left( \begin{array}{rcr} 0 & 2/5 & -3/5 \\ 0 & -1/5 & 4/5 \\ 1/2 & -7/10 & 13/10 \end{array} \right)$,
g) X = $\left( \begin{array}{rr} -11/32 & 23/32 \\ -1/16 & 5/16 \end{array} \right)$,
h) X = $\left( \begin{array}{rr} 3/2 & -5/2 \\ 1 & -2 \end{array} \right)$.
13.
a) ${\bf r }=(-7/3, 4/3, 2/3)^T$,
b) ${\bf r }=(44/9, 71/9, 94/9)^T$,
c) ${\bf r }=(3, -2, 2)^T$,
d) ${\bf r }=(1, 2, -1)^T$,
e) ${ \bf r}=(1,1,1)^T$,
f) ${\bf r }=(2, -3, -2)^T$,
g) ${\bf r }=(1, 1, -1, -1)^T$,
h) ${\bf r }=(-1/2, -3/16, 7/16, -1/4)^T$,
i) ${\bf r }=(1, 2, 2, 0)^T$.

14.
a) ${\bf r }= \alpha _1(1, 0, 0, 0)^T + \alpha _2(0, 1, 0, 0)^T+ \alpha _3(0, 0, 1, 0)^T + \alpha _4(0, 0, 0, 1)^T$,
b) ${\bf r }= \alpha _1(1, 0, 0 )^T + \alpha _2(0, 0, 1)^T$,
c) ${\bf r }= \alpha _1(1, 0, 3/5, 0)^T + \alpha _2(0, 1, 7/5, 0)^T$,
d) má iba triviálne riešenie,
e) ${\bf r }= \alpha _1(1, -2/3)^T$,
f) ${\bf r }= \alpha _1(8/9, 13/18, 1)^T$,
g) ${\bf r }= \alpha _1(2, 4, 1)^T$,
h) má iba triviálne riešenie
i) ${\bf r }= \alpha _1(8, -6, 1, 0)^T + \alpha _2(-7, 5, 0, 1)^T$,
j) ${\bf r }= \alpha _1(-1/2, -1/2, 1)^T$.

V nasledujúcich výsledkoch nie sú žiadne obmedzenia na $\alpha _i$.
15.
a) Sústava nie je riešiteľná,
b) ${\bf r }=(-2, 0, 4)^T$,
c) ${\bf r }=(0, 3/2, 0)^T + \alpha _1(0, -1/2, 1)^T$,
d) ${\bf r }=(0, -2/3, 0)^T + \alpha _1(1, 1/3, 0)^T$,
e) ${\bf r }=(1, 0, 1, 2)^T + \alpha _1(2, 1, 0, 0)^T$,
f) ${\bf r }=(-3, 26/3, 4/3, 0)^T + \alpha _1(0, 2/3, 1/3, 1)^T$,
g) ${\bf r }=(1, -1, -1, 1)^T$,
h) Sústava nie je riešiteľná.