Všeobecné sústavy

Uvažujme konečne o všeobecnej sústave $m$ lineárnych rovníc s $n$ neznámymi

$$a_{11}x_1 + \ldots \hspace{3mm} + a_{1n}x_n = b_1$$

$$a_{21}x_1 + \ldots \hspace{3mm} + a_{2n}x_n = b_2$$

$$\vdots \vdots \ \ \ \vdots$$ (4.7)

$$a_{m1}x_1 + \ldots \hspace{3mm} + a_{mn}x_n = b_m$$

zapísanej pre vhodne definovanú maticu A, vektory x,b aj v tvare ${\bf Ax = b }$. Vieme, že nutná a postačujúca podmienka pre to, aby sústava (4.7) mala riešenie, je $h({\bf A})=h({\bf A\vert b})$. Nech sústava (4.7) má riešenie. Ak $h({\bf A})=n$, tak (4.7) má jediné riešenie. Ak $h({\bf A})<n$, tak (4.7) má nekonečne veľa riešení. Tieto tvrdenia spolu s postupom použitým pri GEM (a pri zisťovaní hodnosti matice) a spôsobom riešenia homogénnej sústavy rovníc využívame pri riešení (4.7).

$\bullet$ Prípad $h({\bf A})=h({\bf A\vert b})=n$.

Príklad 15. Zistite, či sústava rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & -5 ... ... & 10 \\ 2x_1 & + & 5x_2 & - & 7x_3 & = & -9 \\ \end{array}$$

má riešenie a ak áno, určte ho.

Riešenie: Známym spôsobom dospejeme ku ekvivalentnej sústave

$$\begin{array}{rrrrrrrr} x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & -5... ...3 & = & 1 & \\ & & & - & 134x_3 & = & 35 & . \\ \end{array}$$

Vidno, že $h({\bf A})=h({\bf A\vert b})=3$, a preto existuje jediné riešenie tejto sústavy. Spätná substitúcia len potvrdzuje toto tvrdenie. Preto ${\bf r =}$ ${(77/134,-321/134,-35/134)^T}$.

$\clubsuit$

$\bullet$ Prípad $h({\bf A}) \neq h({\bf A\vert b})$.

Príklad 16. Zistite, či sústava rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ ... ...& = & 1 \\ 2x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 0 \\ \end{array}$$

má riešenie a ak áno, určte ho.

Riešenie: Ihneď dostávame

$$\begin{array}{rrrrrrrr} x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 & ... ... & & & = & 0 & \\ & - & x_2 & & & = & -2 & . \\ \end{array}$$

Potom $h({\bf A}) = 2$, $h({\bf A\vert b}) = 3$, a preto sústava nemá riešenie. Nemuseli sme použiť Frobeniusovu vetu. Z ekvivalentnej sústavy vidno, že je sporná. Nemôže súčasne platiť $-x_2=0$ a $-x_2=-2$. $\clubsuit$

$\bullet$ Prípad $h({\bf A}) = h({\bf A\vert b}) \equiv p < n$.
V tomto prípade má sústava ${\bf Ax = b }$ nekonečne veľa riešení. Všetky riešenia sú tvaru

$$\bf r = \bf w + \sum _{i=1}^{n-p} \alpha_i \bf w^{(\it i)} ,$$

kde

*

w je nejaké riešenie sústavy Ax=b

*

${\bf w^{(\it i)}}$ sú lineárne nezávislé riešenia odpovedajúcej homogénnej sústavy rovníc Ax=0 , pre $i=1 , \ldots , n-p$

*

$\alpha_i \in {\bf R}$ pre $i=1 , \ldots , n-p$.

Často sa hovorí, že riešenie r je v tvare súčtu partikulárneho (nejakého) riešenia sústavy Ax=b a všeobecného riešenia odpovedajúcej homogénnej sústavy Ax=0. Pri troche zručnosti sa tieto dve úlohy dajú riešiť spoločne.

Príklad 17. Zistite, či sústava lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrrrr} 2x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & + & 3... ... 3x_1 & + & 3x_2 & + & 3x_3 & - & 3x_4 & = & 6 \\ \end{array}$$

má riešenie a ak áno, určte ho.

Riešenie: Známym spôsobom dospejeme ku ekvivalentnej sústave

$$\begin{array}{rrrrrrrrrr} x_1 & + & x_2 & + & x_3 & - & x_... ...\ & - & x_2 & - & 4x_3 & + & 5x_4 & = & 0 &. \\ \end{array}$$

Vidno, že $h({\bf A}) = h({\bf A\vert b}) = 2 = p$. Teda sústava má nekonečne veľa riešení.

V časti o homogénnych sústavach sme zistili, že dve lineárne nezávislé riešenia odpovedajúcej homogénnej sústavy lineárnych rovníc sú ${\bf w^{(\it 1)}}=(3,-4,1,0)^T$ a ${\bf w^{(\it 2)}}=(-4,5,0,1)^T$. Za parametre sme pritom zvolili neznáme $x_3$ a $x_4$ .

Nejaké (partikulárne) riešenie Ax=b dostaneme z ekvivalentnej sústavy

$$\begin{array}{rrrrrrrr} x_1 & + & x_2 & =& 2 & -s & + & t \\ & - & x_2 & = & & 4s &- & 5t \\ \end{array}$$

najjednoduchšie tak, že v nej zvolíme za parametre $s = t = 0$. Dostávame sústavu

$$\begin{array}{rrrrrrrr} x_1 & + & x_2 & = & 2 &\\ & - & x_2 & = & 0 & . \\ \end{array}$$

Potom už ${\bf w}=(2,0,0,0)^T$. Teda všeobecné riešenie sústavy rovníc je tvaru

$$(2,0,0,0)^T + \alpha _1(3,-4,1,0)^T + \alpha _2(-4,5,0,1)^T,$$

kde $\alpha_1 ,\, \alpha_2 \in {\bf R}$. Všimnite si, že za partikulárne riešenie sústavy Ax=b sme mohli zvoliť aj vektor $(1,1,1,1,)^T$. Potom by bolo všeobecné riešenie tvaru

$$(1,1,1,1)^T + \beta _1(3,-4,1,0)^T + \beta _2(-4,5,0,1)^T.$$

Dosadením sa dá zistiť, že $(-3,6,1,2)^T$ je tiež riešením sústavy. Môžeme ho vyjadriť ako

$$(2,0,0,0)^T + 1(3,-4,1,0)^T + 2(-4,5,0,1)^T,$$

ale aj

$$(1,1,1,1)^T + 0(3,-4,1,0)^T + 1(-4,5,0,1)^T.$$

$\clubsuit$