Číselné množiny

Číselnou množinou nazývame takú množinu, ktorej všetky prvky sú čísla.

Majme číselnú množinu $X$. Nech $M$ je také číslo z $X$, že pre všetky $x \in X$ platí $x\leq M$. Číslo $M$ nazývame maximum množiny $X$ a označujeme ho $\max X$.

Nech $m$ je také číslo z množiny $X$, že pre všetky $x \in X$ platí $m\leq x$. Číslo $m$ nazývame minimum množiny $X$ a označujeme ho $\min X$.

Každá konečná číselná množina má maximum a minimum.

Číselná množina $X$ sa nazýva zhora ohraničená, ak existuje také číslo $B$, že pre každé číslo $x \in X$ platí $x \leq B$. Číselná množina $X$ sa nazýva zdola ohraničená, ak existuje také číslo $b$, že pre každé číslo $x \in X$ platí $b \leq x$. Číslo $B$ nazývame horným ohraničením množiny $X$ a číslo $b$ nazývame dolným ohraničením množiny $X$. Množina ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená. Najmenšie horné ohraničenie množiny $X$ sa nazýva supremum množiny $X$ a označujeme ho $\sup X$. Najväčšie dolné ohraničenie množiny $X$ sa nazýva infimum množiny $X$ a označujeme ho $\inf X$. Majú tieto vlastnosti:

1. Pre každé $x \in X$ platí $\sup X \geq x,\ \inf X \leq x$
2. Pre každé $\varepsilon >0$ existujú čísla $x_1 \in X$ a $x_2 \in X$, pre ktoré platí
   
   $$x_1 \geq \sup X- \varepsilon, \ \ x_2 \leq \inf X + \varepsilon$$
   
   

3. Ak množina $X$ je ohraničená zhora, tak má supremum. Ak množina $X$ je ohraničená zdola, tak má infimum.
4. Ak $\sup X \in X$, tak $\sup X = \max X$. Ak $\inf X \in X$, tak $\inf X = \min X$.

Nech $a,b$ sú reálne čísla a nech $a<b$. Množinu čísel $x$, pre ktoré platí :
$a < x< b$ nazývame otvoreným intervalom a označujeme ho $(a,b)$. Pre takýto interval platí: $a=\inf(a,b),\ b=\sup(a,b)$. Minimum a maximum neexistuje.
$a \leq x \leq b$ nazývame uzavretým intervalom a označujeme ho $\langle a,b\rangle$. Platí: $a=\min \langle a,b\rangle =\inf\langle a,b\rangle, \ b=\max \langle a,b\rangle =\sup\langle a,b\rangle$.
$a < x \leq b$ nazývame zľava otvoreným a sprava uzavretým intervalom a označujeme ho $(a,b\rangle$. Platí: $a=\inf ( a,b\rangle,\ b=\sup ( a,b\rangle =\max ( a,b\rangle.$ Minimum neexistuje.
$a \leq x< b$ nazývame zľava uzavretým a sprava otvoreným intervalom a označujeme ho $\langle a,b)$. Platí: $a=\min \langle a,b )=\inf \langle a,b ),\ b=\sup \langle a,b )$. Maximum neexistuje.
Intervalmi nazývame aj množiny všetkých čísel $x$ určených nerovnosťami:
$a \leq x$, označujeme $\langle a, \infty )$ - zľava uzavretý interval od $a$ do nekonečna. Platí: $a=\min \langle a,\infty )=\inf \langle a,\infty )$. Maximum a supremum neexistuje.
$a < x$, označujeme $( a, \infty )$ - zľava otvorený interval od $a$ do nekonečna. Platí: $a=\inf (a,\infty)$. Minimum, maximum a supremum neexistujú.
$x \leq b$, označujeme $(- \infty ,b\rangle$ - sprava uzavretý interval od mínus nekonečna po $b$. Platí: $b=\max (-\infty ,b\rangle$ $=\sup (-\infty ,b\rangle.$ Minimum a infimum neexistujú.
$x < b$, označujeme $(- \infty ,b)$ - sprava otvorený interval od mínus nekonečna po $b$. Platí: $b=\sup (-\infty,b)$. Maximum, minimum a infimum neexistujú.
Množinu všetkých reálnych čísel môžeme označovať aj $(- \infty , \infty )$.
Okolím čísla $a$ (bodu $a$) nazývame otvorený interval, ktorý číslo $a$ obsahuje. Označujeme ho $O(a)$.
$\varepsilon -$ okolie bodu $a$ je interval $(a -\varepsilon, a+\varepsilon)$, pričom $\varepsilon >0$.

Pre riešenie nasledujúcich príkladov, kde budeme dokazovať, že nejaké číslo je infimom alebo supremom množiny, nám bude užitočná nasledujúca veta:

Veta 1.2   Archimedova vlastnosť: Pre ľubovoľné reálne číslo $a$ existuje také prirodzené číslo $n$, že platí: $n> a$.

Príklad 1. Nájdime supremum, infimum, maximum a minimum množiny $M=(-\frac{1}{2},1\rangle .$

Riešenie: Zo znázornenia danej množiny na číselnej osi usúdime, že supremum množiny je číslo $1$ a infimum množiny $M$ je číslo $-\frac{1}{2}$. Ukážeme, že je to tak. Čísla $x$, ktoré tvoria množinu $M$, spĺňajú nerovnicu

$$-\frac{1}{2} < x \leq 1.$$ (1.1)

Z toho vyplýva, že daná množina je ohraničená a číslo $1$ je jedno z horných ohraničení, číslo $-\frac{1}{2}$ je jedno z dolných ohraničení. Ukážeme, že číslo $1$ je najmenším horným ohraničením, t.j. $\sup M =1$. Musí preto spĺňať vlastnosti suprema:
1. $x\leq 1$ pre každé $x\in M$.
2. Ku každému $\varepsilon >0$ existuje také číslo $x_1 \in M$, pre ktoré platí $x_1 \geq 1-\varepsilon$. Prvé tvrdenie vyplýva z nerovnosti (1.1). Druhé tvrdenie dokážeme tak, že ak za $x_1$ vezmeme číslo $1 \in M$, potom pre každé $\varepsilon >0$ platí $x_1 =1 \geq 1-\varepsilon$.
Podobne dokazujeme, že $\inf M = -\frac{1}{2}$:
1. $-\frac{1}{2} < x$, pre všetky $x\in M$ - vyplýva z nerovnosti (1.1).
2. Ak zvolíme $\varepsilon \geq \frac{1}{2}$, potom číslo $x_2 =0$, tak platí $-\frac{1}{2} +\varepsilon \geq 0 = x_2$. Ak zvolíme $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$, potom číslo $-\frac{1}{2} +\frac{\varepsilon}{2} =x_2$ je prvkom množiny $M$, pre ktorý platí $x_2 = -\frac{1}{2} +\frac{\varepsilon}{2}< -\frac{1}{2} +\varepsilon.$ Z toho vyplýva že $\inf M = -\frac{1}{2}$. Číslo $-\frac{1}{2}$ nie je z množiny $M$, preto podľa vlastnosti $4$ pre infimum množina $M$ nemá minimum. Číslo $1=\sup M$ je z množiny $M$ a preto podľa vlastnosti $4$ je číslo $1= \max M$. $\clubsuit$

Príklad 2. Nájdime supremum, infimum, maximum a minimum množiny $M$, kde $M$ je množina všetkých čísel tvaru $\frac{n+4}{n+5}$, kde $n$ je prirodzené číslo.

Riešenie: Vypočítame niekoľko prvkov tejto množiny: $\frac{5}{6},\ \frac{6}{7},\ \frac{7}{8},\ \frac{8}{9} \dots$ Z toho usudzujeme, že $\sup M =1$ a $\inf M = \frac{5}{6}$. Dokážeme to.
Vlastnosť číslo 1 je skutočne splnená:

$\frac{n+4}{n+5} <1$

Ukážeme druhú vlastnosť: Zvolíme $\varepsilon >0$. Treba nájsť prvok $x_1$ z množiny $M$ tak, aby platilo: $x_1 \geq 1-\varepsilon$.
Keďže $x_1$ je prvok z $M$, musí byť tvaru $\frac{n_0+4}{n_0+5}$ pre nejaké $n_0 \in {\bf N}$. Potom musí platiť:

$$\frac{n_0+4}{n_0+5} \geq 1-\varepsilon,$$

z čoho po úprave dostávame

$$n_0 \geq \frac{5(1-\varepsilon)-4}{\varepsilon}$$

Z Archimedovej vlastnosti ale takéto $n_0$ vždy existuje pre ľubovoľné $\varepsilon$. Tým je dokázaná aj druhá vlastnosť suprema, a preto $1$ je naozaj supremom množiny $M$.
Podobne dokážeme, že $\inf M = \frac{5}{6}$. Prvá vlastnosť: Z nerovnosti $n\geq 1$ vyplýva

$$6n-5n \geq 25-24$$

$$6(n+4) \geq 5(n+5)$$

$$\frac{n+4}{n+5} \geq \frac{5}{6}$$

Druhá vlastnosť: Pre každé $\varepsilon$ treba nájsť prvok $x_2 =\frac{n_1+4}{n_1+5}$, pre ktorý bude platiť: $\frac{n_1+4}{n_1+5} \leq \frac{5}{6}+\varepsilon$. Stačí ale zvoliť $n_1=1$ a potom nerovnosť $\frac{5}{6} \leq \frac{5}{6} +\varepsilon$ platí pre ľubovoľné $\varepsilon >0$. Preto $\inf M = \frac{5}{6}$.
Supremum množiny $M$ nepatrí do $M$, preto množina nemá maximum. Infimum množiny $M$ je prvkom tejto množiny, a preto $\min M =\frac{5}{6}$. $\clubsuit$