Gaussov tvar matice

Nasledujúci pojem má v teórii matíc (a následne v lineárnej algebre) výsadné postavenie. Hovoríme, že matica je v Gaussovom tvare, ak sú splnené nasledujúce štyri podmienky: G1. Prvý l'avý nenulový prvok v každom riadku je rovný 1. (Tomuto prvku hovoríme vedúca jednotka v riadku.) G2. Každý prvok v stĺpci pod vedúcou jednotkou je rovný 0. G3. Vedúca jednotka v každom riadku sa nachádza vpravo od vedúcich jednotiek vo všetkých vyššie položených riadkoch. G4. Prípadné riadky obsahujúce samé nuly nasledujú až za všetkými riadkami obsahujúcimi vedúce jednotky. Naviac, hovoríme, že matica je v redukovanom Gaussovom tvare, ak spolu s horeuvedenými štyrmi podmienkami je splnená aj piata: G5. Každý prvok v stĺpci nad vedúcou jednotkou je rovný 0. Dá sa pomerne l'ahko ukázat', že každá matica je ekvivalentná s nejakou maticou v Gaussovom tvare. Inak povedané, pre každú maticu existuje postupnost' riadkových operácií, pomocou ktorej je možné danú maticu upravit' tak, aby spĺňala podmienky G1-G4.

Príklad 2. Z nasledujúcich štyroch matíc prvé dve nie sú v Gaussovom tvare (prečo?). Tretia je v Gaussovom tvare (ale nie v redukovanom), zatial' čo posledná je v redukovanom Gaussovom tvare.

$$\left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 8 & j \\ 0 & 1 & 9 & 6 \... ... & 9 & 6 \\ 1 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & 1 & c \end{array}\right)$$

$$\left( \begin{array}{cccc} 1 & x & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & y \... ...& 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Je dôležité uvedomit' si, že Gaussov tvar matice nie je určený jednoznačne. To znamená, že začnúc s rovnakou maticou, dve nezávislé osoby môžu aplikovaním dvoch rôznych postupností riadkových operácií dospiet' k dvom rôznym Gaussovým tvarom, a oba výsledky môžu byt' správne.

Podstatne t'ažšie je dokázat', že každá matica je ekvivalentná s jedinou maticou v redukovanom Gaussovom tvare.