Derivácie vyšších rádov

Keďže derivácia elementárnej funkcie je funkciou, má zmysel hovoriť o derivácii derivácie atď. Druhou deriváciou funkcie $f$ je derivácia funkcie $f'$ (ak existuje).
Pomocou indukcie môžeme takto definovať derivácie ľubovoľného rádu. Deriváciou n-tého rádu alebo n-tou deriváciou funkcie $f$ je derivácia (n-1)-ej derivácie funkcie $f$ (ak existuje).
Derivácie vyšších rádov označujeme takto

$f'',\ f''',\ f^4,\ f^5,\dots,\ f^{(n)}$

$y'',\ y''',\ y^4,\ y^5,\dots,\ y^{(n)}$

$\frac{d^2y}{dx^2},\ \frac{d^3y}{dx^3},\ \frac{d^4y}{dx^4},\ \frac{d^5y}{dx^5},\dots,\ \frac{d^ny}{dx^n}$

Príklad 15. Nájdime $(\cos x)^{(91)}$, $(\log_2\ 3x)^{(12)}$ a $(x^n)^{(n)},\quad n \in {\bf N}$.

Riešenie:

b )

Počítajme derivácie funkcie $\cos x$: $(\cos x)' = -\sin x$, $(\cos x)'' =-\cos x$, $(\cos x)''' = \sin x$ a $(\cos x)^{(4)} = \cos x$. Preto platí aj $(\cos x)^{(88)} = \cos x$. Potom však

$$(\cos x)^{(91)} = (\cos x)^{(3)} = (-\sin x)^{(2)} = (-\cos x)' = \sin x.$$

c )

$(\log_2\ 3x)' = \frac{1}{x\ln\ 2}$. Ďalej
$(\log_2\ 3x)'' = \frac{1}{\ln\ 2}.\frac{-1}{x^2}$ a
$(\log_2\ 3x)''' = \frac{1}{\ln\ 2}.\frac{2}{x^3}$. V každej ďalšej derivácii zostane konštanta $\frac{1}{\ln\ 2}$, násobí sa exponentom a tento sa potom zníži (je záporný!) o jednotku. Po ďalších deviatich deriváciách dostaneme (premyslite si dôkladne aj znamienko)

$$(\log_2\ 3x)^{(12)} = -\frac{1}{\ln\ 2}.\frac{11!}{x^{12}}.$$

d )

Pri derivácii mocninovej funkcie sa násobí exponentom a ten sa potom znižuje o jednotku. Po $n$ deriváciách funkcie $x^n$ dostaneme $(x^n)^{(n)} = n!$. Dodajme ešte, že $(x^n)^{(n+1)} = 0$.

$\clubsuit$