Derivácia funkcie určenej parametrickými rovnicami

Rovinná krivka býva často určená parametrickými rovnicami

$$x = f(t),\qquad y = g(t),\qquad t \in (a,b).$$

V prípade, keď $f'(t) \neq 0$ pre všetky $t \in (a,b)$, je krivka grafom funkcie určenej parametrickými rovnicami, ktorej deriváciu môžeme počítať aj bez jej explicitného vyjadrenia pomocou vzťahu

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}.$$

Príklad 14. Nájdeme prvé dve derivácie funkcie určenej parametrickými rovnicami

$$x = \cos t,\qquad y = \sin t,\qquad t \in \langle \pi,2\pi \rangle.$$

Riešenie: $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -cotg\ t$.
Porovnajte tento výsledok s výsledkom príkladu 12.
Pretože druhá derivácia je deriváciou prvej derivácie (pozri nasledujúcu časť), platí

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx... ...rac{\frac{d\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =$$

$$\frac{\frac{d(-cotg\ t)}{dt}}{\frac{d(\cos t)}{dt}} = \frac{\frac{1}{\sin^2 t}}{-\sin t} = \frac{-1}{\sin^3 t}.$$

$\clubsuit$