Výsledky cvičení.

1. a) áno,         b) nie,         c) áno,         d) nie,          e) áno.

2. Súčet koreňov je $-\frac23$, súčin je $\frac{p}{3}$, rozdiel je $\frac{2\sqrt{1-3p}}{3}$, podiel je $\frac{(\sqrt{1-3p}-1)^2}{3p}$.

3. $f(-1)=\frac32$, $f(\frac{\sqrt{2}}{2})=2(\sqrt{2}-1)$, $f(\frac{\sqrt{3}}{3})$ nie je definovaná,
$f(1+a)=\frac{2a+1}{3a^2+6a+2}$, $f(-x)=-\frac{2x+1}{3x^2-1}$, $f(\frac{1}{x})=\frac{2x-x^2}{3-x^2}$.

4. a) ${\bf R}- \{-\frac12\}$,        b) $(-\infty,\frac95\rangle$,         c) ${\bf R}- \{-2;4\}$,
d) $\langle -7,4 \rangle$,         e) $\langle 3,4 \rangle$,        f) $\{(2k\pi,(2k+1)\pi),\ k \in {\bf Z}\}-\{(2k-1)\frac {\pi}2,\ k\in{\bf Z}\}$,
g) $(-\infty,0)\cup(0,1)$,        h) ${\bf R}- \{-1;1\}$.

5. $g = f_{/(0,\infty)}$.

6. $h=f_{/(0,\infty)}=g_{/(0,\infty)}$.

7. $f \circ h(x) = \frac{1}{x}$,     $h \circ f(x) = \frac{\pi}{2}-x$,      $g \circ h(x) = x$,      $h \circ g(x) = x_{/(0,\pi)}$.

8. $f \circ g(x) = x_{/(0,\infty)}$,     $g \circ f(x) = x$,     $f \circ h(x) =10^{2^x}$,     $h \circ f(x) =2^{10^x}$,
$g \circ h(x) = x\log 2$,     $h \circ g(x) = x^{\log 2},\ x \in (0,\infty)$.

9. a) $x \qquad \stackrel{\ln } \longrightarrow \qquad \ln x \qquad \stackrel{2()+1} \longrightarrow \qquad 2 \ln x + 1$,
b) $x \qquad \stackrel{()^3 - 2()^2 +1} \longrightarrow \qquad x^3 - 2x^2 +1 \qquad \stackrel{\sqrt{}} \longrightarrow \qquad \sqrt{x^3 - 2x^2 +1}$,
c) $x \qquad \stackrel{1-()^2} \longrightarrow \qquad 1-x^2 \qquad \stackrel{\sqrt... ... \sqrt{1-x^2} \qquad \stackrel{\sin} \longrightarrow \qquad \sin(\sqrt{1-x^2})$,
d) $x \qquad \stackrel{()^2-5} \longrightarrow \qquad x^2-5 \qquad \stackrel{2^{()... ...uad 2^{x^2-5} \qquad \stackrel{arctg} \longrightarrow \qquad arctg(2^{x^2-5})$,
e) $x \qquad \stackrel{\sqrt{}} \longrightarrow \qquad \sqrt{x} \qquad \stackrel{2... ...d 2 \sqrt{x} \qquad \stackrel{\sinh} \longrightarrow \qquad \sinh(2 \sqrt{x})$,
f) Je to podiel zložených funkcií $x \qquad \stackrel{3()} \longrightarrow \qquad 3 x \qquad \stackrel{\ln} \longrightarrow \qquad \ln(3 x)$    a
$x \qquad \stackrel{x^3} \longrightarrow \qquad x^3 \qquad \stackrel{\log} \longrightarrow \qquad \log(x^3)$.

10. a) $f^{-1}(x)=\frac{4-x}{2x+3}$,        b) $f^{-1}(x)=\frac{x^5-11}{2}$,
c) $f^{-1}(x)=\sqrt{4-x}$ je inverzná ku $f_{/ \langle 0,\infty \rangle}$,         d) $f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{tg\,x-1}{tg\,x+1}}$,
e) $f^{-1}(x)=\frac{\arcsin x + \frac{\pi}{3}}{2}$,         f) $f^{-1}(x)=1-10^{\frac{1}{x}}$,
g) $f^{-1}(x)=2+\frac{5}{\log_3 x}$,         h) $f^{-1}(x)=\left( \frac{x}{5x+1} \right)^3$.

11. $f^{-1}(7) = -3$, o hodnote $f^{-1}(-3)$ nemôžeme povedať nič.

12. $f=f^{-1}$, $g_{/\langle 0,\infty )}=g^{-1}$, $g_{/(-\infty,0)}$ má inverznú funkciu $g^{-1}(x)=-x$, $x \in (0,\infty)$, $h=h^{-1}$
13. Prosté sú funkcie v a), b), c), d), f).
14. Môže, ak $f$ nie je prostá, napríklad $f(x)=x^2$ a $g(x)=\sqrt{x}$.

15. Napríklad $x + (-x)$,    $x - x$,     $x\times \frac{1}{x}$,    $\frac{x}{x}$.

16. $p \in (-\infty,\log_2 3 - 2)$.

17. $p \in (1,\infty)$.

18. $(-2^{-x})(-3^{-x})$.

19. Ohraničené sú funkcie v a), d), e), h); okrem týchto
zdola ohraničená je funkcia v b); zhora ohraničené sú funkcie v c), f), g).

20. Napríklad funkcia $y = arctg\,x$. Funkcia $f^{-1}$ je ohraničená, ak množina $D(f)$ je ohraničená.

21. Párne sú funkcie v a), c);        nepárne sú funkcie v d), e), f);
periodické sú funkcie v e), g), h), j).

23. a) $1 + (-x)$,        b) $(x^2+1) + 0$,         c) $(2x^4 + 11x^2 + 5) + (-7x^3 - 4x)$,
d) $0 + arctg\,x$,        e) $\vert 3x\vert + 0$,         f) $\cosh x + \sinh x$.

24. Existuje, napríklad funkcia $f$ definovaná $f(x)=1$, ak $x$ je racionálne číslo a $f(x)=0$, ak $x$ je iracionálne číslo.

26. a) $-1 + \frac{2}{1+x}$,         b) $\frac{3}{(x-3)^3}+\frac{1}{(x-3)^2}$,
c) $x + \frac{-\frac83 x + \frac53}{x^2+x+1} + \frac{\frac53}{x-1}$,         d) $x^2-x+1+\frac{\frac13 x - \frac13}{x^2+x+1}-\frac{\frac12}{x+1} +\frac{\frac16}{x-1}$,
e) $\frac{1}{(x^2+1)^2}$,         f) $1 + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1}$.

28. Body nespojitosti majú len funkcie v a): sú to prvky množiny Za f): sú to body $\frac{\pi}{2}(2k+1),\ k \in {\bf Z}$.

29. a) $y(4) = 5$,        b) $y(0) = 2$ a $y(-3) = -1$,         c) $y(0) = 0$,
d) $y(0) = \frac35$,        e) nedá sa          f) $y(0) = \frac{\pi}{2}$.

30. a) $p = 2$        b) $p = -\frac13$.

31. a) $26$,        b) $\frac{\pi^2}{4}$,        c) $\frac72$,        d) $1-\sqrt{3}$.

32. a) $-5$,        b) $\frac15$,        c) $\frac53$,
d) $\frac52$.        e) $\frac{\sqrt{2}}{4}$,        f) $\frac14$.

33. a) $\frac43$,        b) $(-1)^{k-n}\frac{k}{n}$,        c) $0$,
d) $0$.        e) $\sin 1$,        f) $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

34. a) $-3$,        b) $\frac{1}{e}$,        c) $0$,        d) $e$.

35. a) $0$,        b) $0$,        c) $e^{-2}$,
d) $e^2$.        e) $0$,        f) $\frac12$.

36. Nie.

37. a) $y=3$ a $x=-3$,        b) $y=x+\frac12$ a $x=\frac12$,        c) $x=-1$,
d) $y = 0$,        e) $y=x$, $x = 2$ a $x = -2$,        f) $x = 0$.

40. $K = 0$,        $L = 8$,        $M = 0$,        $N=1$.

41. $K = 1$,        $L = 1$,        $M = 0$.

42. $K$ neexistuje,        $L = 1$,        $M = 0$.

43. $L=\infty$,        $M = -\infty$,        $N= -1$.

44. $L = 1$,        $M = e^{-1}$,        $N=1$.