Cvičenia.

1. Rozhodnite, ktoré z nasledujúcich priradení určujú funkcie.

b )

Každému prirodzenému číslu priradíme súčet všetkých jeho prirodzených deliteľov.

c )

Každému trojuholníku priradíme jeho výšku.

d )

Každému trojuholníku priradíme kružnicu jemu opísanú.

e )

Každému reálnemu číslu priradíme jeho druhú odmocninu.

f )

Každému reálnemu číslu $x$ priradíme číslo $3x-41$.

2. Je daná kvadratická rovnica $3x^2 + 2x + p = 0$. Vyjadrite závislosť súčtu, súčinu, rozdielu a podielu jej koreňov od hodnoty parametra $p$.

3. Je daná funkcia $y:\ f(x) = \frac{2x-1}{3x^2-1}$. Nájdite hodnoty $f(-1),\ f(\frac{\sqrt{2}}{2}),\ f(\frac{\sqrt{3}}{3}),\ f(1+a),\ f(-x),\ f(\frac{1}{x})$.

4. Nájdite definičné obory funkcií

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = \frac{x}{2x+1} & {\... ...thrm h)} & y = \mbox{arctg}\,(\frac{1+x^2}{1-x^2}). \end{array}$$

5. Porovnajte funkcie $f:\ y = \log x^2$ a $g:\ y = 2\log x$.

6. Porovnajte funkcie $f:\ y = x$, $g:\ y = \sqrt{x^2}$ a $h:\ y = (\sqrt{x})^2$.

7. Sú dané funkcie $f:y = \mbox{tg}\,x$, $g:y = \mbox{cotg}\,x$ a $h:y = \mbox{arccotg}\,x$. Nájdite čo najjednoduchšie pravidlo priradenia funkcií $f \circ h$, $h \circ f$, $g \circ h$, $h \circ g$.

8. Sú dané funkcie $f:y = 10^x$, $g:y = \log x$ a $h:y=2^x$. Nájdite čo najjednoduchšie pravidlo priradenia funkcií $f \circ g$, $g \circ f$, $f \circ h$, $h \circ f$, $g \circ h$, $h \circ g$.

9. Zložené funkcie rozložte na zložky

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = 2\ln x + 1 & {\math... ...x}) & {\mathrm f)} & y = \frac{\ln 3x}{\log(x^3)}. \end{array}$$

10. Nájdite inverzné funkcie k funkciám (alebo ich vhodným zúženiam)

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = \frac{4-3x}{2x+1} & ... ...athrm h)} & y = \frac{\sqrt[3]{x}}{1-5\sqrt[3]{x}}. \end{array}$$

Venujte pritom pozornosť oborom funkcií.

11. O funkcii $f$ vieme, že má inverznú funkciu a $f(-3) = 7$. Čo môžeme povedať o $f^{-1}(-3)$ a o $f^{-1}(7)$?

12. Overte vzťahy pre obory dvojíc inverzných funkcií z Príkladu 6 a symetriu ich grafov.

13. Ktoré z nasledujúcich funkcií sú prosté?

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = \frac{5x+3}{7-2x} & ... ...^{\cos x}& {\mathrm f)} & y = \log \frac{1}{x+3}. \end{array}$$

14. Môže byť funkcia $f \circ g$ prostá, aj keď funkcie $f$ a $g$ nie sú prosté?

15. Nájdite príklady dvojíc prostých funkcií, ktorých súčet (rozdiel, súčin, podiel) nie je prostá funkcia.

16. Pre ktoré hodnoty čísla $p$ je funkcia $y = 2^{px}.\left( \frac34 \right)^{2-x}$ rastúca?

17. Pre ktoré hodnoty čísla $p$ je funkcia $y = \log_{p} \frac{4}{x}$ klesajúca?

18. Nájdite príklad dvoch rastúcich funkcií, ktorých súčin nie je rastúca funkcia.

19. Ktoré z nasledujúcich funckií sú ohraničené (zhora, zdola)?

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = \vert x+1\vert - \ve... ... x\vert}& {\mathrm h)} & y = \arcsin \frac{1}{x}. \end{array}$$

20. Nájdite príklad funkcie, ktorá je ohraničená, ale jej inverzná funkcia nie je ohraničená. Sformulujte a overte podmienku ohraničenosti inverznej funkcie.

21. Ktoré z nasledujúcich funkcií sú párne, nepárne, periodické?

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = 1-x^2 & {\mathrm b)... ...)} & y = \sin 2^x & {\mathrm j)} & y = 2^{\sin x}. \end{array}$$

22. Dokážte, že ak $f$ je ľubovoľná funkcia definovaná v ${\bf R}$, tak $g(x) = f(x) + f(-x)$ je párna funkcia a $h(x) = f(x) - f(-x)$ je nepárna funkcia. Pomocou toho dokážte, že $f$ sa dá napísať ako súčet párnej a nepárnej funkcie.

23. Pomocou predchádzajúceho cvičenia napíšte nasledujúce funkcie v tvare súčtu párnej a nepárnej funkcie

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = 1-x & {\mathrm b)} ... ... e)} & y = \vert 3x\vert & {\mathrm f)} & y = e^x. \end{array}$$

24. Existuje periodická funkcia, ktorá nemá periódu?

25. Overte platnosť tvrdení v časti 6.3.

26. Rozložte na súčet mnohočlena a elementárnych zlomkov racionálne funkcie

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & y = \frac{1... ...^2} & {\mathrm f)} & y = \frac{x^5}{x^5-2x^4+x^3}. \end{array}$$

27. Načrtnite grafy funkcií $\vert f(x)\vert$, $f(x+1)$, $f(x)+1$, $f(2x)$, $2f(x)$, $1-f(x)$, ak funkcia $f$ je jedna z nasledujúcich funkcií

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = 3x + 2 \quad \quad &... ...\mathrm e)} & y = 2^x & {\mathrm f)} & y = \cos x. \end{array}$$

28. Nájdite body nespojitosti funkcií

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & y = \{x\} &... ...y = sign (2^x) & {\mathrm f)} & y = sign (\cos x). \end{array}$$

29. Funkcia $f$ je zúžením spojitej funkcie $g$ definovanej v množine všetkých reálnych čísel. Určte hodnoty funkcie $g$ v bodoch, ktoré nepatria do $D(f)$.

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & y = \frac{x... ...thrm f)} & y = \vert\mbox{arctg}\,(\frac 1x)\vert. \end{array}$$

30. Nájdite číslo $p$, pre ktoré je funkcia $f$ spojitá

$${\mathrm a)}\quad f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2-4x+7, & x < 2 \\ \frac{x+4}{p}, & x \geq 2 \end{array} \right.$$

$${\mathrm b)}\quad f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2+px-3, & x \leq -3 \\ 4-px^2, & x > -3 \end{array} \right.$$

31. Vypočítajte limity

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & \lim_{x \ri... ...)} & \lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}. \end{array}$$

32. Vypočítajte limity

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & \lim_{x \ri... ...\lim_{x \rightarrow -2} \frac {\sqrt{6+x}-2}{x+2}. \end{array}$$

33. Vypočítajte limity

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & \lim_{x \ri... ...\frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos x}. \end{array}$$

34. Vypočítajte limity

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & \lim_{x \ri... ...rightarrow 0} (1 + \mbox{tg}\,x)^{\mbox{cotg}\,x}. \end{array}$$

35. Vypočítajte limity

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & \lim_{x \ri... ...arrow \infty} \frac{x - 1}{\sqrt{4x^2 + 2x - 7}} . \end{array}$$

36. Má zmysel hovoriť o limite zľava v bode $-\infty$ a o limite sprava v bode $\infty$?

37. Nájdite všetky asymptoty ku grafom funkcií

$$\begin{array}{llll} \vspace{2mm} {\mathrm a)} & y = \frac{3x... ...{x^2 - 4} & {\mathrm f)} & y = \frac{1}{x} + \ln x. \end{array}$$

38. Ukážte, že ak má nepárna funkcia asymptotu s rovnicou $y = ax + b$, tak má aj asymptotu s rovnicou $y = ax - b$. Sformulujte a ukážte platnosť analogického tvrdenia pre asymptoty bez smernice párnych aj nepárnych funkcií.

39. Sformulujte a overte tvrdenie pre klesajúce zdola ohraničené postupnosti analogické tvrdeniu v časti 6.8.

40. Vypočítajte limity
$K = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{3^n}$, $L = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{4n^2+11n-2}}{n+3} \right)^3$,
$M = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-n^2}{n^3+4} \frac{n^2+1}{3n^3+2n+9}$, $N = \lim_{n \rightarrow \infty}7^{\frac{5n^2-2n}{n^3-2n+1}}$.

41. Vypočítajte limity
$K = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}$, $L = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{99n^9}$,
$M = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{5^n}{n^{\frac{n}{8}}}$.

42. Vypočítajte limity
$K = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}.\mbox{cotg}\,n$, $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \mbox{tgh}\,(n)$,
$M = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sin\ n$.

43. Vypočítajte limity
$L = \lim_{n \rightarrow \infty}n(\sqrt{4n^2+3n-2} - 2n)$, $M = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt{(n+3)(n-2)} - 2n$,
$N = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n^2-1}}$.

44. Vypočítajte limity
$L = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$, $M = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2-1}$,
$N = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^x$.