Substitučná metóda

Táto metóda je odvodená od vzťahu pre deriváciu zloženej funkcie a jej princíp je v nasledujúcom tvrdení:

Nech $F$ je primitívna funkcia k funkcii $f$ v intervale $I$, nech funkcia $\varphi$ má deriváciu v intervale $(a,b)$ a nech pre každé $x \in (a,b)$ je $\varphi(x) \in I$. Potom

$$\int f(\varphi(x))\cdot\varphi^{'}(x)\,dx = F(\varphi(x)) + c,\qquad {\mathrm v\ intervale}\ (a,b).$$ (1.4)

Často sa vyskytujúcim špeciálnym prípadom tejto metódy je situácia keď funkcia $\varphi(x) = ax+b$ je lineárna. Vtedy $\varphi^{'}$ existuje pre všetky $x \in \mathcal{R}$ a za predpokladov tvrdenia platí

$$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + c.$$ (1.5)

-

Príklad 4. Ukážeme platnosť vzťahu 1.5.

Riešenie: Upravíme integrál na ľavej strane a použijeme vzťah 1.4:

$$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b)\, a\,dx = \left... ...arphi'(x) = a \end{array} \right\} = \frac{1}{a} F(ax+b) + c.$$

Iné riešenie: Zderivujme pravú stranu vzťahu 1.5.

$$\left( \frac{1}{a} F(ax+b) + c \right)^{'} = \frac{1}{a} F^{'}(ax+b) = \frac{1}{a} f(ax+b).a = f(ax+b).$$

$\clubsuit$

-

Príklad 5. Vypočítame neurčité integrály

a) $\int \frac{dx}{3x+7}$, 		 b) $\int (5-7x)^{21}\,dx$, 		c) $\int \cos 2x\,dx$.

Riešenie: Budeme používať vzťah 1.5.
a) V tomto príklade je $ax+b = 3x+7$ a funkcia $f$ je definovaná vzťahom $f(t) = \frac{1}{t}$. Primitívna funkcia k $f$ je funkcia $F(t) = \ln \vert t\vert$ v každom intervale neobsahujúcom $0$. Preto platí

$$\int \frac{dx}{3x+7} = \frac13 \ln \vert 3x+7\vert + c,$$

v každom intervale neobsahujúcom číslo $-\frac73$.
b) Teraz je $ax+b = -7x + 5$ a $f(t) = t^{21}$. Preto

$$\int (5-7x)^{21}\,dx = -\frac17 \frac{(5-7x)^{22}}{22} + c = - \frac{(5-7x)^{22}}{154} + c$$

pre $x \in \mathcal{R}$.
c) Podobne ako v predchádzajúcich častiach dostávame

$$\int \cos 2x\,dx = \frac12 \sin 2x + c = \sin x \cos x + c,\quad x \in \mathcal{R}.$$

$\clubsuit$

Niekedy je potrebné integrovanú funkciu pred použitím substitučnej metódy upraviť algebraickými alebo inými úpravami. -

Príklad 6. Vypočítame neurčité integrály

a) $\int \frac{dx}{4+x^2}$ b) $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$ c) $\int \cos^2 x\,dx$.

Riešenie: a) Integrovanú funkciu upravíme

$$\frac{1}{4+x^2} = \frac14\ \frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}$$

a integrujeme (pre $\varphi (x) = \frac12 x$ a $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$)

$$\int \frac{dx}{4+x^2} = \frac14 \int \frac{dx}{1+(\frac{x}{2... ...ctg}\,\frac{x}{2} + c = \frac12 \mbox{arctg}\,\frac{x}{2} + c.$$

b) Integrovanú funkciu upravíme

$$\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} = \frac13 \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}}$$

a integrujeme (pre $\varphi (x) = \frac13 x$ a $f(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$)

$$\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} = \frac13 \int \frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}} = \arcsin \frac{x}{3} + c,$$

pre $x \in (-3,3)$.
c) K úprave použijeme trigonometrický vzťah $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.

$$\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \frac12 \left (\int 1\,dx + \int \cos 2 x\,dx\right ) =$$

$$= \frac12 (x + \frac12 \sin 2 x) + c = \frac12 (x + \sin x \cos x) + c.$$

$\clubsuit$

Vo všeobecnosti je praktický postup pri používaní substitučnej metódy nasledujúci:

1. V integrovanej funkcii hľadáme takú funkciu $\varphi$, ktorá sa tam vyskytuje spolu so svojou deriváciou, alebo jej číselným násobkom.
2. Zavedieme novú premennú $t$, pre ktorú je $t = \varphi (x)$.
3. Upravíme daný inegrál na tvar $\int f(t)\,dt$ kde $dt = \varphi '(x)\, dx$ a počítame $\int f(t)\,dt = F(t) + c$.
4. Vo výsledku nahradíme $t = \varphi (x)$:     $F(\varphi(x)) + c$.

Niekedy, ak je funkcia $\varphi$ monotónna, tretí bod tohoto postupu je výhodné realizovať tak, že si vyjadríme inverznú funkciu $x = \varphi^{-1}(t)$ a (alebo) $dx = \left(\varphi^{-1}\right)^{'}(t)\,dt$ a dosadíme do pôvodného integrálu (pozri napríklad integrovanie iracionálnych funkcií). -

Príklad 7. Vypočítame neurčité integrály

a) $\int \cos^{4}x\sin x\,dx$ b) $\int \frac{dx}{x\ln x}$ c) $\int 3x\sqrt{x^2 + 6}\,dx$ 


d) $\int \frac{\sqrt[5]{\mbox{arccotg}\,x}}{1+x^2}\,dx$ e) $\int xe^{7-x^2}\,dx$ f) $\int \frac{\sinh\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx$ 


g) $\int \frac{\mbox{tg}\,^2 x}{\cos^2x}\,dx$ h) $\int \frac{3^x}{\sqrt{1-9^x}}\,dx$ i) $\int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x + 3}\,dx$.

Riešenie: a) V integrovanej funkcii sa vyskytuje funkcia $\varphi(x) = \cos x$ a zároveň násobok jej derivácie $-\varphi^{'}(x) = \sin x$. (Prečo neuvažujeme $\varphi(x) = \sin x$ a $\varphi^{'}(x) = \cos x$?). Daný integrál vypočítame preto nasledovne

$$\int \cos^{4}x\sin x\,dx = \left\{ \begin{array}{c} t = \... ... dt = -\sin x\,dx \end{array} \right\} = \int t^4\,(-dt) =$$

$$= -\int t^4\,dt = -\frac{t^5}{5} + c = -\frac{\cos^5 x}{5} + c.$$

b) V integrovanej funkcii sa vyskytuje funkcia $\varphi(x) = \ln x$ a zároveň jej derivácia $\varphi^{'}(x) = \frac{1}{x}$. Preto

$$\int \frac{dx}{x\ln x} = \left\{ \begin{array}{c} t = \ln... ...t \frac{dt}{t} = \ln\vert t\vert + c = \ln\vert\ln x\vert + c,$$

$$x \in (0,1)\quad {\mathrm{alebo}}\quad x \in (1,\infty).$$

c)

$$\int 3x \sqrt{x^2 + 6}\,dx = \left\{ \begin{array}{c} t =... ...frac32 \int \sqrt{x^2+6}\ 2x\,dx = \frac32 \int \sqrt{t}\,dt =$$

$$= \frac32 \int t^{\frac12}\,dt = \frac32 \frac{t^{\frac32}}{\frac32} + c = (x^2+6)^{\frac32} + c = \sqrt{(x^2+6)^3} + c.$$

d)

$$\int \frac{\sqrt[5]{\mbox{arccotg}\,x}}{1+x^2}\,dx = \int \sqrt[5]{\mbox{arccotg}\,x}\ \frac{dx}{1+x^2} =$$

$$= \left\{ \begin{array}{c} t = \mbox{arccotg}\,x \\ dt = ... ...} \Rightarrow \frac{dx}{1+x^2} = - dt \end{array} \right\} =$$

$$= \int \sqrt[5]{t}\,(-dt) = -\int t^{\frac15}\,dt = -\frac... ...c65} + c = -\frac{5 \sqrt[5]{\mbox{arccotg}\,^{6} x}}{6} + c.$$

e)

$$\int xe^{7-x^2}\,dx = \int e^{7-x^2}(x\,dx) = \left\{ \be... ... \Rightarrow x\,dx = -\frac{1}{2}\,dt \end{array} \right\} =$$

$$= \int e^{t}\ \left(-\frac{1}{2}\,dt \right) = -\frac12 \int e^{t}\,dt = -\frac12 e^{t} + c = -\frac12 e^{7-x^2} + c.$$

f)

$$\int \frac{\sinh \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx = \int \sinh\sqrt{x... ...tarrow \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\,dt \end{array} \right\} =$$

$$= \int \sinh t (2\,dt) = 2 \cosh t + c = 2 \cosh \sqrt{x} + c.$$

g)

$$\int \frac{\mbox{tg}\,^2 x}{\cos^2 x}\,dx = \int \mbox{tg}\,... ...\frac{1}{\cos^2 x}\,dx \end{array} \right\} = \int t^2\,dt =$$

$$\frac{t^3}{3} + c = \frac{\mbox{tg}\,^3 x}{3} + c.$$

h)

$$\int \frac{3^x}{\sqrt{1-9^x}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-(3^x)^2}} (3^x\,dx) =$$

$$= \left\{ \begin{array}{c} t = 3^x \\ dt = 3^x \ln 3\,dx \Rightarrow 3^x\,dx = \frac{dt}{\ln 3} \end{array} \right\} =$$

$$= \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \frac{dt}{\ln 3} = \frac{\arcsin t}{\ln 3} + c = \frac{\arcsin 3^x}{\ln 3} + c.$$

i) V riešení tohoto príkladu využijeme trigonometrickú identitu
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$$\int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x + 3}\,dx = \int \frac{1}{\sin^2 x + 3} (2 \sin x \cos x\,dx) =$$

$$= \left\{ \begin{array}{c} t = \sin^2 x + 3 \\ dt = 2 \sin x \cos x\,dx \end{array} \right\} =$$

$$= \int \frac{1}{t}\,dt = \ln \vert t\vert + c = \ln (\sin^2 x + 3) + c.$$

$\clubsuit$

Poznámka 3. Poučenie z predchádzajúceho príkladu môžeme voľne formulovať nasledovne

Ak $\int f(x)\,dx = F(x) + c$, tak v príslušných intervaloch platí

$\int xf(x^2)\,dx = \frac12 F(x^2) + c,$ $\int \frac{f(\ln x)}{x}\,dx = F(\ln x) + c,$


$\int \frac{f(\mbox{arctg}\,x)}{1+x^2}\,dx = F(\mbox{arctg}\,x) + c,$ $\int \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = 2F(\sqrt{x}) + c,$


$\int f(\sin x) \cos x\,dx = F(\sin x) + c,$ $\int \frac{f(\mbox{tg}\,x)}{\cos^2x}\,dx = F(\mbox{tg}\,x) + c.$

Ďalšie podobné vzťahy si čitateľ môže odvodiť sám.