Cvičenia

1. Zistite, či $x_1=2$, $x_2=3$ je riešením sústavy rovníc

$$\begin{array}{rrrrrr} 2x_1 & + & 5x_2 & = & 7 & \\ 6x_1 & - & 3x_2 & = & 4 &. \\ \end{array}$$

2. Zistite, či vektory ${(1,1,5)}^T$ , ${(1,2,5)}^T$ , ${(1,1,3)}^T$ sú riešením sústavy rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrrr} 6x_1 & + & 3x_2 & - & 2x_3 & = & 2 &... ...= & 5 & \\ 2x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 9 &. \\ \end{array}$$

3. Zistite, či vektory ${(0,-2)}^T$ , ${(1,-1)}^T$ , ${(4,4)}^T$ , ${(4,2)}^T$ , ${(2,0)}^T$ sú riešením sústavy rovníc

$$\begin{array}{rrrrrr} 3x_1 & - & 2x_2 & = & 4 & \\ 6x_1 & - & 4x_2 & = & 8 &. \\ \end{array}$$

4. Uveďte geometrickú interpretáciu sústavy dvoch lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrr} a_{11}x & + & a_{12}y & = & b_1 \\ a_{21}x & + & a_{22}y & = & b_2 \\ \end{array}$$

z hľadiska jej riešiteľnosti. Ako sa zmenia vaše závery v prípade, že platí $b_1 = b_2 = 0$ ? Pokúste sa o analógiu pre sústavu troch lineárnych rovníc o troch neznámych $x$, $y$, $z$. (Návod: aký geometrický útvar je popísaný rovnicou $ax + by + c = 0$ a jej analógiou v trojrozmernom priestore?)

5. Napíšte sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi, ktoré majú vlastnosť: a) má práve jedno riešenie , b) nemá riešenie , c) má nekonečne veľa riešení .

6. Vyriešte nasledovné sústavy lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrr} 3x_1 & + & 4,127x_2 & = & 15,441 \\ x_1 & + & 1,370x_2 & = & 5,147 \\ \end{array}$$

$$\begin{array}{rrrrrr} 3x_1 & + & 4,122x_2 & = & 15,441 & \\ x_1 & + & 1,374x_2 & = & 5,147 &. \\ \end{array}$$

7. Použitím Frobeniusovej vety zistite, či nasledovné sústavy lineárnych rovníc sú riešiteľné:
a)

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & - & 2x_2 & + & 2x_3 & = & -9 \\... ...= & 11 \\ 5x_1 & + & 12x_2 & + & 6x_3 & = & 29 \\ \end{array}$$

b)

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ ... ...3 & = & -2 \\ 2x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 7 \\ \end{array}$$

c)

$$\begin{array}{rrrrrrr} 3x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ ... ... = & 7 \\ 11x_1 & - & 4x_2 & - & 3x_3 & = & 10 \\ \end{array}$$

d)

$$\begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 & - & 3x_2 & + & x_3 & = & 5 \\ ... ...3 & = & 12 \\ x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 3 \\ \end{array}$$

e)

$$\begin{array}{rrrrrrrrr} 2x_1 & + & x_2 & - & x_3 & + & x_4 ... ...\ 5x_1 & + & x_2 & - & x_3 & + & 2x_4 & = & -1 \\ \end{array}$$

f)

$$\begin{array}{rrrrrrrrrr} x_1 & + &2x_2 & + &3x_3 & - &2x_4 ... ...2x_1 & - & 3x_2 & + & 2x_3 & + & x_4 & = & 8 &. \\ \end{array}$$