Determinant a riadkové operácie

Z mnohých vlastností determinantu uvedieme nasledujúcich pät', ktoré zároveň umožňujú jeho rýchly výpočet (v kombinácii s metódou v predchádzajúcej časti): D1: Ak $\bf B$ je matica, ktorá vznikne z $\bf A$ aplikáciou jednej riadkovej operácie O1, tak $\vert{\bf B}\vert=-\vert{\bf A}\vert$. D2: Nech matica $\bf B$ vznikne z $\bf A$ pomocou riadkovej operácie O2, t.j. tak, že niektorý riadok matice $\bf A$ sa vynásobí konštantou $c$. Potom $\vert{\bf B}\vert=c.\vert{\bf A}\vert$. D3: Aplikáciou riadkovej operácie O3 sa determinant nemení. D4: Ak v matici $\bf A$ je niektorý riadok násobkom iného riadku, tak $\vert{\bf A}\vert=0$. D5: Ak ${\bf A}=[a_{ij}]_{n\times n}$ je trojuholníková matica, tak jej determinant je súčinom jej diagonálnych prvkov, čiže $\vert{\bf A}\vert=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}$. Poznámka. Pravidlá analogické D1-D4 platia aj pre stĺpce a stĺpcové operácie s maticami.

Z uvedeného ihneď vyplýva, že determinant štvorcovej matice $\bf A$ typu $n\times n$ možno počítať napr. nasledovne: Použitím krokov A1-A3 upravíme maticu $\bf A$ do Gaussovho tvaru -- to bude automaticky trojuholníková matica, ktorej determinant je (podl'a D5) súčinom jej diagonálnych prvkov. Pri výpočte nezabúdame zmenit' znamienko determinantu pri kažej výmene dvoch riadkov (pravidlo D1) a vynásobit' determinant konštantou pri každom použití riadkovej operácie O2 (pravidlo D2).

Bystrý čitatel' iste l'ahko nájde mnohé zjednodušenia tohoto algoritmu. Napríklad, vytváranie vedúcej jednotky v každom riadku nie je postatné; ak pri úpravách vznikne nulový riadok, je -- podl'a D4 -- determinant automaticky rovný nule; na vhodnom mieste (mnoho núl v niektorom riadku alebo stĺpci) môže byt' výhodné prejst' k rozvoju determinantu podl'a 3.1.8, atd'

Dôsledkom uvedeného algoritmu a tvrdení v 3.1.6 je nasledujúci závažný fakt: K štvorcovej matici $\bf A$ existuje inverzná matica práve vtedy, ked' $\vert{\bf A}\vert\ne 0$.

Príklad 7. Kombináciou rôznych metód vypočítajme determinant

$${\bf A}=\left( \begin{array}{rrrr} 2 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3\end{array}\right) \$$

Riešenie: Pri výpočte budeme používat' kódovanie riadkových resp. stĺpcových operácií podobne ako v 3.1.4 (riadky označujeme $R_i$, stĺpce $S_j$); súčasne v zátvorke budeme uvádzat', ktoré pravidlo na výpočet determinantu používame:

$$\vert{\bf A}\vert=\left\vert \begin{array}{rrrr} 2 & 3 & 1 & ... ... \ \ \begin{array}{l} S_1\leftrightarrow S_3\ (D1) \end{array}$$

$$= -\left\vert \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 3... ... R'_4=R_4+ (-2)R_1 \end{array}\begin{array}{l} (D3) \end{array}$$

$$% latex2html id marker 10390 = -\left\vert \begin{array}{rr... ...t\vert \ \ \ \begin{array}{l} (\ref{detcol})\to S_1 \end{array}$$

$$= - 1.(-1)^{1+1}.\left\vert \begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ ... ... \ \ \begin{array}{l} S_1\leftrightarrow S_2\ (D1) \end{array}$$

$$= + \left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -4 & -7... ..._1 \\ R'_3=R_3+R_1 \end{array}\begin{array}{l} (D3) \end{array}$$

$$= \left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -9 \\ ... ...\ \ \ \begin{array}{l} R_2\leftrightarrow R_3 (D1) \end{array}$$

$$= - \left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -4 ... ...\end{array}\right\vert \ \ \ \begin{array}{l} (D5) \end{array}$$

$$= - (1.(-3).(-9)) = -27\ .$$