Cvičenia.

1. sú dané vektory $\vec{a} = [ -4,1,3]$ a $\vec{b = [1,-2,3]}$. Nájdite vektory $\vec{2a} + \vec{3b}$, $\vec{-4a}$, $\frac34\vec{a} + \frac{-2}{3}\vec{b}$, $\frac{\vec{a}}{\vert\vert\vec{a}\vert\vert}$.

2. Sú dané body $A=[-1,2,4]$, $B=[5,-2,1]$ a $C=[1,3,0]$. Nájdite vektory $\vec{B}-\vec{A}$, $3(\vec{C}-\vec{A})$, $(\vec{B}-\vec{C})+(\vec{B}-\vec{A})$, $3(\vec{A}-\vec{C})-2(\vec{B}-\vec{C})$ a zistite ich dĺžky.

3. Vyjadrite vektor $\vec{v}$ ako lineárnu kombináciu vektorov $\vec{a} = [5,3,-1]$ a $\vec{b} = [-2,0,1]$, ak

b )

$\vec{v} = [0,0,0]$,

c )

$\vec{v} = [1,-1,-2]$,

d )

$\vec{v} = [4,0,-2]$.

4. Nájdite všetky jednotkové vektory kolmé k vektoru $\vec{a}=[-3,4]$.

5. Nájdite všetky jednotkové vektory kolmé k obidvom vektorom $\vec{u}=[0,-1,2]$ a $\vec{v}=[3,2,-1]$.

6. Vypočítajte uhol vektorov

b )

$[3,4]$ a $[-2,6]$

c )

$[1,4,-2]$ a $[2,-2,-3]$,

d )

$[1,1,-1]$ a $[-1,2,3]$.

7. Vypočítajte veľkosti uhlov a dĺžky strán v trojuholníku $ABC$, ak

b )

$A = [1,-2],\ B = [4,6],\ C = [1,3]$,

c )

$A = [-1,-1,-2],\ B = [0,-2,4],\ C = [1,-4,0]$.

8. Vypočítajte obsahy trojuholníkov z predchádzajúceho príkladu.

9. Vypočítajte objem a obsah povrchu rovnobežnostena, v ktorom bod $A=[1,-3,4]$ je spojený hranami s bodmi $B=[-2,0,-1],\ D=[3,-1,0]$ a $A_1=[0,4,-2]$.

10. Napíšte všeobecnú, smernicovú a parametrické rovnice priamky, ktorá je určená tak, že

b )

prechádza bodmi $A=[1,-4],\ B=[4,3]$,

c )

prechádza bodom $A=[-3,0]$ a je rovnobežná s priamkou $q:\ y=3x-5$,

d )

prechádza bodom $A=[3,-2]$ a je kolmá na priamku $q:\ [x,y] = [4-2t,-1+t]$,

11. Zistite spoločné body úsečky $u$ a priamky $p:\ 2x-3y+6=0$, ak

b )

$u:\ x = 1-2t,\ y = -2+3t,\quad t \in \langle -1,2 \rangle$,

c )

$u:\ x = 1-2t,\ y = -2+3t,\quad t \in \langle 0,1 \rangle$,

d )

$u:\ x = 3+3t,\ y = 4+2t,\quad t \in \langle 0,1 \rangle$.

12. Nájdite súradnice ťažiska a priesečníka výšiek v trojuholníku $ABC$, ak $A=[-2,-1],\ B=[-1,3],\ C=[5,2]$.

13. Nájdite rovnice kružnice opísanej trojuholníku $ABC$ z predchádzajúceho príkladu.

14. Určte typ kužeľosečky a súradnice jej stredu (vrcholu)

b )

$4x^2 + 4y^2 - 16y + 10 = 0$,

c )

$3x^2 + y^2 - 6x + 3y = 0$,

d )

$2x^2 - 5y^2 + 8x + 7 = 0$,

e )

$3y^2 - 2x + 3y + 1 = 0$,

f )

$x^2 + 2y^2 + 2x + 4y + 4 = 0$.

15. Určte polohu bodu $P$ vzhľadom k elipse $4x^2 + 9y^2 = 36$, ak

b )

$P = [-2,1]$,

c )

$P = [-1,-4]$,

d )

$P = [2,-\frac{2\sqrt{5}}{3}]$.

16. Je daná hyperbola $\frac{(x-2)^2}{5} - \frac{(y+3)^2}{10} = -1$.

b )

Nájdite všetky body, ktorých prvá súradnica je $5$ a ležia na hyperbole,

c )

nájdite všetky priesečníky hyperboly s osou $o_y$,

d )

nájdite všetky hodnoty $x_0$, pre ktoré existuje na hyperbole bod s prvou súradnicou rovnou $x_0$,

e )

nájdite všetky hodnoty $y_0$, pre ktoré existuje na hyperbole bod s druhou súradnicou rovnou $y_0$.

17. Nájdite spoločné body priamky $p:\ x - 2y = 0$ s

b )

elipsou $\frac{(x-2)^2}{8} + \frac{(y+1)^2}{2} = 1$,

c )

parabolou $x + 3 = -4(y+1)^2$,

d )

hyperbolou $(x+2)^2 - \frac{y^2}{2} = 1$.

18. Nájdite rovnicu dotyčnice ku

b )

kružnici $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25$ v bode $T = [2,-2]$,

c )

parabole $x = -2(y+1)^2 + 4$ v bode $T = [2,0]$,

d )

hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ v bode $T = [-\sqrt{5},2]$.

19. Nájdite všetky hodnoty čísla $k$, pre ktoré má priamka $p:\ y = k(x-4)$ aspoň jeden spoločný bod s

b )

kružnicou $x^2 + y^2 = 5$,

c )

parabolou $x - 4 = 4(y-1)^2$,

d )

hyperbolou $x^2 - y^2 = -1$.

20. Koľko bodov môže mať spoločných priamka s kužeľosečkou?

21. Nájdite všobecnú rovnicu roviny určenej

b )

bodmi $A=[-1,1,0],\ B=[3,0,-1],\ C=[1,2,3]$,

c )

bodom $A=[0,0,0]$ a priamkou $p:\ [x,y,z]=[1-t,1+t,-3t]$ na rovinu kolmou,

d )

rovnobežnými priamkami $p:\ [x,y,z]=[-1+2t,t,4-t]$ a $p:\ [x,y,z]=[3-2u,-1-u,u]$.

e )

rôznobežnými priamkami $p:\ [x,y,z]=[-1+2t,1+t,2-t]$ a $p:\ [x,y,z]=[3-2u,-1+u,u]$.

22. Nájdite rovnice priamky určenej

b )

bodmi $A = [-1,4,1]$ a $B = [2,0,3]$,

c )

bodom $A = [3,-2,1]$ a rovnobežnou priamkou $p:\ [x,y,z] = [1 - 2t,3t,-4]$,

d )

bodom $A = [1,1,1]$ a rovinou $\varrho:\ 3x - 2y + 5z - 1 = 0$, ktorá je na ňu kolmá,

e )

bodom $A = [-2,0,7]$, pričom hľadaná priamka je rôznobežná so všetkými tromi súradnicovými osami.

23. Nájdite rovnicu guľovej plochy, ktorá je určená

b )

stredom $S = [-2,1,4]$ a prechádza začiatkom súradnicovej sústavy,

c )

tým, že sa dotýka roviny $x = 0$ v bode $T = [0,-2,3]$ a jej stred leží v rovine $x - y + 2z = 4$,

d )

polomerom $r = 4$, dotýka sa roviny $2x + 2y + z = 0$ a jej stred leží na priamke $p:\ [x,y,z] = [1+t,-t,-1+t]$.

24. Popíšte vzájomnú polohu dvojíc priamok

b )

$p:\ [x,y,z] = [-2t,7+4t,-11]$ a $q:\ [x,y,z] = [-2+u,-2u,0]$,

c )

$p:\ [x,y,z] = [2-3t,t,-1+t]$ a $q:\ [x,y,z] = [2+u,-2-u,4u]$,

d )

$p:\ [x,y,z] = [2-t,2t,1-t]$ a $q:\ [x,y,z] = [u,-u,-13+4u]$,

e )

$p:\ [x,y,z] = [2+t,2t,1-t]$ a $q:\ [x,y,z] = [6-3u,8-6u,-3+3u]$.

25. Napíšte rovnice polpriamky, ktorá leží v rovinách $2x-y+7=0$,      $x + 2y - z + 1 = 0$ a v polpriestore $x+y+z \geq 0$.

26. Popíšte vzájomnú polohu dvoch rovín

b )

$x - 2y + z = 3$     a      $-2x + 4y -2z + 6 = 0$,

c )

$x - 2y + z + 3 = 0$     a      $-2x + 4y -2z + 6 = 0$,

d )

$x - 2y + z - 3 = 0$     a      $2x + 4y -2z + 6 = 0$.

27. Popíšte vzájomnú polohu priamky $p:\ [x,y,z] = [2-3t,-1+t,2t]$ a roviny

b )

$\varrho:\ 3x + y + 2z - 4 = 0$,

c )

$\varrho:\ x - y + 2z + 7 = 0$,

d )

$\varrho:\ x - y + 2z - 3 = 0$.

28. Napíšte rovnice úsečky, ktorej koncové body ležia na priamke $p:\ [x,y,z] = [-6-4t,1+t,8+7t]$ a súčasne na guľovej ploche $(x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 18$.

29. Napíšte rovnicu dotykovej roviny ku guľovej ploche $(x+4)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 36$

b )

v bode $T = [0,5,0]$,

c )

rovnobežnej s rovinou $x - 2y + 2z - 7 = 0$,

d )

kolmej na priamku $p:\ [x,y,z] = [2+2t,-1+t,-2t]$.

30. Vypočítajte odchýlku

b )

priamky $p:\ [x,y,z] = [2-t,-1+4t,3]$     a      priamky $q:\ [x,y,z] = [-1,5-2u,1+u]$,

c )

priamky $p:\ [x,y,z] = [1+2t,-3t,-3-t]$     a      roviny $\varrho:\ x + 2y - 4z + 11 = 0$,

d )

roviny $\varrho:\ x - 2y + 2z = 0$ a roviny $\nu:\ x + 4y - z + 5 = 0$.

31. Vypočítajte odchýlku priamky $p:\ [x,y,z] = [-1+t,4,2-\sqrt{3}t]$ od všetkých troch osí súradnicovej sústavy a od všetkých troch rovín, určených dvojicami osí.

32. Vypočítajte vzdialenosti

b )

bodu $P = [-1,4,7]$ od roviny $\varrho:\ 3x - 5y + z - 9 = 0$,

c )

dvoch rovín $\varrho:\ -x + 2y + z = 7$     a      $\nu:\ 3x - 6y - 3z = 0$,

d )

priamky $p:\ [x,y,z] = [t,-1-3t,5]$ a roviny $\varrho:\ 3x + y - 2z + 11 = 0$,

e )

rovnobežných priamok $p:\ [x,y,z] = [3t,-2t,-1+t]$     a      $q:\ [x,y,z] = [5-3u,1+2u,-u]$,

f )

mimobežných priamok $p:\ [x,y,z] = [3t,-2t,1+t]$     a      $q:\ [x,y,z] = [5-u,1+2u,-3u]$.

33. Os mimobežiek je priamka rôznobežná s obidvomi mimobežkami a kolmá na každú z nich. Určte rovnicu osi mimobežiek $p:\ [x,y,z] = [3+2t,6+t,-4-3t]$     a      $q:\ [x,y,z] = [-4+4u,-2+u,2-u]$.

34. Je daný štvorsten $ABCD$, kde $A = [-3,-2,5],\ B = [-3,0,2],\ C = [-2,4,-3],\ D = [-7,6,6]$.

b )

Vypočítajte najväčšiu odchýlku dvoch hrán štvorstena,

c )

vypočítajte najmenšiu odchýlku dvoch stien štvorstena,

d )

vypočítajte najmenšiu odchýlku hrany a steny štvorstena,

e )

vypočítajte najmenšiu vzdialenosť vrchola od protiľahlej steny štvorstena,

f )

vypočítajte najmenšiu vzdialenosť dvoch mimobežných hrán štvorstena,

g )

vypočítajte obsah povrchu a objem štvorstena.

35. Vypočítajte obsah kruhu, ktorý je prienikom roviny $2x+y-4z+1=0$ a gule $(x-3)^2 + (y+1)^2 + z^2 \leq 9$.