Reálne čísla a ich základné vlastnosti

Základné číselné množiny sú čitateľovi určite známe už zo strednej školy. Zavedieme preto len ich označenie:
N- množina všetkých prirodzených čísel.
Prirodzené čísla sú čísla $1,2,3,\dots$ . Súčet a súčin prirodzených čísel je prirodzené číslo.
Z- množina všetkých celých čísel.
Celé čísla sú všetky čísla, ktoré môžeme vyjadriť ako rozdiel dvoch prirodzených čísel. Súčet, súčin a rozdiel celých čísel je celé číslo.
Q- množina všetkých racionálnych čísel.
Racionálne čísla sú všetky čísla, ktoré je možné vyjadriť ako podiel celého a prirodzeného čísla. Súčet, rozdiel, súčin a podiel racionálnych čísel (okrem delenia nulou) je racionálne číslo.
I- množina všetkých iracionálnych čísel.
Iracionálne čísla sú čísla, ktoré možno vyjadriť v tvare nekonečného neperiodického desatinného zlomku. Napíklad: $\sqrt3, \sqrt2, \pi.$
R- množina všetkých reálnych čísel.
Zjednotenie množiny racionálnych a iracionálnych čísel tvorí množinu reálnych čísel.
Z vyššie uvedeného vyplýva, že medzi jednotlivými číselnými množinami platí nasledujúci vzťah:

$${\bf N}\subset {\bf Z}\subset {\bf Q}, \ \ {\bf Q}\cup {\bf I}= {\bf R}, \ \ {\bf Q}\cap {\bf I}= \emptyset$$

Množina všetkých reálnych čísel má tieto základné vlastnosti:

1. Je usporiadaná: pre každé dve reálne čísla $a,b$ platí práve jeden zo vzťahov:
   $a=b, \ \ a<b, \ \ b<a.$
2. Je všade hustá: medzi dvoma ľubovoľnými rôznymi reálnymi číslami $a,b$, pre ktoré platí $a<b$, existuje aspoň jedno reálne číslo $c$, pre ktoré platí: $a< c< b$.
3. Je uzavretá vzhľadom na operácie súčtu, súčinu, rozdielu a podielu t.j. súčet, súčin, rozdiel a podiel reálnych čísel je reálne číslo.
4. Množinu R možno jednojednoznačne zobraziť na číselnej osi t.j. každému reálnemu číslu možno priradiť jediný bod na číselnej osi a naopak.