Všeobecná rovnica priamky

je rovnica v tvare

$$ax + by +c = 0, \quad \mathrm{kde\ a,b,c\ sú\ reálne\ čísla.}$$ (2.9)

Ich geometrický význam je ten, že $\vec{n}=[a,b]$ je normálový vektor priamky a číslo $-c$ je rovné skalárnemu súčinu polohového vektora ľubovoľného bodu priamky s normálovým vektorom $[a,b]$, t.j.,ak $X$ je ľubovoľný bod priamky, tak $(\vec{X - O})\cdot\vec{n}=-c.$ Poznamenajme ešte, že číslo $\vert c\vert$ je priamo úmerné vzdialenosti priamky od začiatku súradnicovej sústavy.
Polroviny určené touto priamkou majú nerovnice

$$ax + by + c \le 0\quad a \quad ax + by + c\ge 0.$$ (2.10)

Príklad 9. Napíšeme všeobecnú rovnicu priamky určenej bodmi $A[2,5]$ a $B[-1,3]$. Napíšeme tiež rovnicu polroviny určenej touto priamkou a bodom $C[-5,-3]$.

Riešenie: Hľadaná rovnica priamky má tvar $ax + by + c = 0$, kde $a,\ b,\ c$ sú konkrétne reálne čísla, ktoré potrebujeme nájsť. Keďže body $A$ a $B$ ležia na priamke, ich súradnice spĺňajú hľadanú rovnicu, čo vedie k dvom rovniciam pre čísla $a,\ b,\ c$

$$2 a + 5 b + c = 0 \qquad a \qquad -a + 3b + c = 0.$$

Sčítaním prvej a dvojnásobku druhej rovnice dostávame $b = -\frac{3}{11}c$. Dosadením za $b$ do druhej rovnice dostávame $a = \frac{2}{11}c$. Teda sústava má nekonečne veľa riešení, ktoré dostaneme ľubovoľnou voľbou hodnoty $c$. Ak zvolíme napríklad $c = 11$, dostaneme celočíselné hodnoty $a = 2$ a $b = 3$. Hľadaná rovnica je

$$2 x - 3y + 11 = 0.$$

Pri tejto príležitosti poznamenajme, že aj ľubovoľný nenulový násobok tejto rovnice (zodpovedajúci inej voľbe hodnoty $c$) je rovnicou tej istej priamky.
Na určenie znamienka nerovnice hľadanej polroviny dosadíme do ľavej strany rovnice priamky súradnice bodu $C$ a výsledok porovnáme s pravou stranou:

$$2.(-5) -3.(-3) + 11 = 10 > 0.$$

Polrovina je určená nerovnicou $2x - 3y + 11 \ge 0$. $\clubsuit$