Cvičenia

1. Pomocou definície derivácie vypočítajte deriváciu funkcie

b )

$y = 3x^2+2x-1$ v bode $0$,

c )

$y = 3x+4$ v bode $a$,

d )

$y = \frac{5}{2x+6}$ v bode $2$,

e )

$y = \cos 2x$ v bode $\frac{\pi}{4}$,

2. Pomocou definície derivácie vypočítajte deriváciu funkcie

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = -2x^2, & {\mathrm b)}... ... \vert x\vert, & {\mathrm f)} & y = \vert x^3\vert. \end{array}$$

3. Vypočítajte deriváciu funkcie

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = 7x^4-12x^3+2\sqrt{x},... ...{-x}, & {\mathrm h)} & y = e^x(\cos x + \arcsin x). \end{array}$$

4. Vypočítajte deriváciu funkcie

$$\begin{array}{llllll} {\mathrm a)} & y = \cos 3x, & \hspace{... ...athrm l)} & y = \sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt[3]{4x+1}}}. \end{array}$$

5. Vypočítajte deriváciu inverznej funkcie k funkcii $f$ v bode $a$ bez určenia funkcie $f^{-1}$

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & f(x) = \frac{7-2x}{5},\qu... ...}{3}, & {\mathrm d)} & f(x) = e^{-2x},\quad a = 5 . \end{array}$$

6. Vypočítajte deriváciu funkcie

$$\begin{array}{llllll} {\mathrm a)} & y = x^x, & \hspace{2cm}... ...m} & {\mathrm d)} & \left( \frac{x}{x+1} \right)^x. \end{array}$$

7. Vypočítajte deriváciu implicitnej funkcie

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y^2 = 2x, & {\mathrm b)} ... ... {\mathrm f)} & e^y + xy = e\ {\mathrm v\ bode}\ 0. \end{array}$$

8. Vypočítajte deriváciu funkcie určenej parametrickými rovnicami

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & x = t^2,\ y = 2t, & {\mat... ... t, & {\mathrm f)} & x = e^t\sin t,\ y = e^t\cos t. \end{array}$$

9. Dokážte, že ak má funkcia $f$ v bode $a$ deriváciu, tak je v bode $a$ spojitá.

10. Predpokladajme, že funkcia $f$ má deriváciu. Dokážte, že platí

b )

Ak $f$ je periodická s periódou $p$, tak $f'$ je periodická s tou istou periódou.

c )

Ak $f'$ je periodická s periódou $p$, tak $f$ je periodická s tou istou periódou.

d )

Ak $f$ je párna, tak $f'$ je nepárna.

e )

Ak $f$ je nepárna, tak $f'$ je párna.

11. Nájdite príklady funkcie $f$, pre ktorú platí

b )

$f$ je ohraničená, ale $f'$ nie je ohraničená,

c )

$f'$ je ohraničená, ale $f$ nie je ohraničená,

d )

$f$ je rastúca, ale $f'$ je klesajúca,

e )

$f'$ je rastúca, ale $f$ je klesajúca,

f )

$f$ je monotónna, ale $f'$ nie je monotónna,

g )

$f'$ je monotónna, ale $f$ nie je monotónna.

12. Nájdite príklad funkcií $f$ a $g$, pre ktoré platí

$$f'(0) < g(0) < g'(0) < f(0).$$

13. Nájdite príklad funkcie $f$, pre ktorú platí

$$f(0) < f'(0) < f''(0) < f'''(0).$$

14. Vypočítajte derivácie funkcie do rádu $n$ pre danú hodnotu $n$

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = 3x^3 - 4x^2 + 1,\ n =... ... 2, & {\mathrm h)} & x = t^3,\ y = t^2,\ n = 2, \\ \end{array}$$

15. Vypočítajte derivácie funkcie rádu $n$ pre všeobecnú hodnotu $n$

$$\begin{array}{llllll} {\mathrm a)} & y = e^{2x}, & \hspace{2... ...{-n}, & \hspace{2cm} & {\mathrm f)} & y = \sqrt{x}. \end{array}$$

16. Nájdite rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkcie $f$ v bode $[x_0,f(x_0)]$

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & f(x) = \frac{x-2}{3},\ x_... ... x_0 = 0, & {\mathrm f)} & f(x) = \ln 5x,\ x_0 = 1. \end{array}$$

17. Nájdite rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkcie $f$ rovnobežnej s priamkou $p$

b )

$f(x) = 3x + 1,\quad p:\ y = \frac{4-x}{3}$,

c )

$f(x) = x^2 + 3,\quad p:\ y = \frac{x-5}{2}$,

d )

$f(x) = \frac{4}{3-2x},\quad p: y = 1 - x$,

e )

$f(x) = e^{2x},\quad p: y = 2x - 7$,

f )

$f(x) = \mbox{cotg}\,2x,\quad x\in (-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4),\quad p: y = -4x$.

18. Nájdite dotyčnicu s najväčšou smernicou ku grafu funkcie $y = \mbox{arctg}\,x$.

19. Nájdite rovnicu dotyčnice a normály ku elipse $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{4} = 1$ v bode $[1,-\sqrt{2}]$.

20. Dotyčnica ku grafu funkcie určenej rovnicou $xy = 4$ vytvorí spolu s osami $o_x$ a $o_y$ trojuholník. Vyjadrite obsah tohoto trojuholníka ako funkciu premennej $x$.

21. Asteroida je krivka určená rovnicou $x^{\frac23}$ + $y^{\frac23}$ = $a^{\frac23}$. Dokážte, že úsečka na dotyčnici ku asteroide ohraničená súradnicovými osami má konštantú dĺžku $a$.

22. Teleso je vrhnuté zo zeme smerom kolmo nahor. Jeho výška po $t$ sekundách je (približne) $30t - 5t^2$ metrov.

b )

Aká je začiatočná rýchlosť telesa?

c )

Za aký čas teleso dopadne na zem?

d )

Akou rýchlosťou dopadne teleso na zem?

e )

Ako vysoko teleso doletí?

f )

Aká je rýchlosť telesa v najvyššom bode?

g )

Aké je zrýchlenie telesa v najvyšsom bode?

23. Teleso sa pohybuje v smere osi $o_x$, pričom jeho poloha v čase $t$ je daná vzťahom

$$x = (t-1)(t-4)^4.$$

b )

Kedy má teleso nulovú rýchlosť?

c )

V ktorých časových intervaloch sa teleso pohybuje smerom doľava?

d )

Akou najväčšou rýchlosťou sa teleso pohybuje doľava?

24. Človek výšky $1,75$ m sa vzďaľuje od zdroja svetla rýchlosťou $5\ km/h$. Zistite rýchlosť pohybu tieňa jeho hlavy, ak zdroj svetla je umiestnený vo výške $7$ m.

25. Nájdite diferenciál funkcie

$$\begin{array}{llll} {\mathrm a)} & y = 2x - 5 \quad {\mathrm... ...box{arctg}\,\frac{x}{2} \quad {\mathrm v\ bode}\ 2. \end{array}$$

26. Použitím diferenciálu približne vypočítajte hodnoty

$$\begin{array}{llllll} {\mathrm a)} & (2,03)^3, & \hspace{2cm... ...space{2cm} & {\mathrm h)} & \mbox{arccotg}\,(-0,9). \end{array}$$

27. Pomocou diferenciálu odhadnite približne zmenu objemu gule pri zmene jej polomeru $r$ o hodnotu $\triangle x$.

28. Hmotnosť platnej mince sa nesmie odlišovať o viac ako $0,1$ % od jej predpísanej hmotnosti. O koľko percent sa môže líšiť polomer platnej mince od predpísaného polomeru za predpokladu, že minca má predpísanú hrúbku.

29. Perióda $T$ pohybu kyvadla je určená vzťahom $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, kde $L$ je dĺžka kyvadla v metroch, $T$ je meraná v sekundách a $g \approx 9,81\ m/s^2$ je gravitačná konštanta. Použitím diferenciálu nájdite

b )

približnú dĺžku kyvadla, ktorého perióda je $1$ sekunda,

c )

zmenu $\triangle T$ periódy, ak dĺžka kyvadla v časti a) sa predĺži o $1$ cm.

30. Nájdite Taylorov mnohočlen stupňa $n$ v bode $a$ pre funkciu

b )

$y = 5x^4 - 4x^2 + 11x - 9$     v bode $0$,    $n=4$,

c )

$y = 5x^4 - 4x^2 + 11x - 9$     v bode $-2$,    $n=4$,

d )

$y = e^{-\frac{x}{2}}$     v bode $0$,    $n=4$,

e )

$y = \ln x$     v bode $1$,    $n = 5$,

f )

$y = \sqrt{x}$     v bode $1$,    $n=4$,

g )

$y = \mbox{tg}\,x$     v bode $\frac{\pi}{4}$,    $n=3$,

h )

$y = \mbox{arctg}\,x$     v bode $0$,    $n=3$.

31. Nech $T_f$ je Taylorov mnohočlen funkcie $f$ stupňa $n$ v bode $a$ a $T_g$ je Taylorov mnohočlen funkcie $g$ stupňa $n$ v bode $a$. Dokážte, že $T_f + T_g$ je Taylorov mnohočlen funkcie $f+g$ stupňa $n$ v bode $a$.

32. Použite výsledok predchádzajúceho cvičenia na určenie Taylorovho mnohočlenu stupňa $5$ funkcie $y = \ln \frac{1+x}{1-x}$ v bode $0$ pomocou Taylorových mnohočlenov funkcií $y = \ln(1+x)$ a $y = \ln(1-x)$.

33. Použite Taylorov mnohočlen z predchádzajúceho cvičenia na približný výpočet hodnoty $\ln 2$. (Pomôcka: zvoľte $x = \frac13$.)

34. Dokážte, že rovnica $\sqrt{x} + \sqrt{x+1} = 4$ má jediné riešenie, ktoré patrí do intervalu $(3,4)$. Nahraďte funkciu na ľavej strane rovnice jej Taylorovým mnohočlenom druhého stupňa a zistite tak približnú hodnotu tohoto riešenia. Svoj výpočet porovnajte s presným výpočtom.

35. S chybou menšou ako $10^{-4}$ vypočítajte hodnoty z príkladu 26.

36. Nájdite intervaly monotónnosti, intervaly, v ktorých je konvexná a v ktorých konkávna a lokálne extrémy pre funkcie

$$\begin{array}{llllll} {\mathrm a)} & y = x^3 - 3x, & \hspace... ...x, & \hspace{2cm} & {\mathrm j)} & y = \arccos x^2. \end{array}$$

37. Dokážte, že postupnosť $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ je rastúca.

38. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie v danom intervale

b )

$y = -2 + 3x - x^2$ v intervale $\langle 0,3 \rangle$,

c )

$y = \vert 2x^2 + 5x + 3\vert$ v intervale $\langle -5,1 \rangle$,

d )

$y = x^4 + 4x^3 - 20x^2 + 7$ v intervale $\langle -1,3 \rangle$,

e )

$y = \sqrt {9 - 4x^2}$ v intervale $\langle -1,1 \rangle$,

f )

$y = x - 2\ln x$ v intervale $\langle 1,e \rangle$,

g )

$y = 2x^{\frac23} - 9x + 12 \sqrt{x}$ v intervale $\langle 0,\infty)$,

h )

$y = x^x$ v intervale $(0,\infty)$,

i )

$y = e^{-\frac{1}{1+x^2}}$ v intervale $(- \infty , \infty )$.

39. Aký najmenší obvod môže mať obdĺžnik s obsahom $25\ {\mathrm cm}^2$?

40. Do rotačného kužeľa s polomerom $r$ a výškou $v$ je vpísaný valec tak, že jeho podstava leží v podstave kužeľa. Určte najväčšiu možnú hodnotu

b )

objemu valca,

c )

obsah povrchu valca.

41. Pozemok v tvare obdĺžnika z jednej strany ohraničený rovným prúdom rieky má byť zo zvyšných troch strán ohraničený plotom. Akú môže mať pozemok najväčšiu plochu, ak môžeme na plot použiť $800$ metrov pletiva?

42. Parník pohybujúci sa rovnomerne rýchlosťou $v$ km/h spotrebuje za hodinu $20 + 0,001v^3$ ${\mathrm m}^3$ nafty. Pri akej rýchlosti spotrebuje parník najmenej nafty?

43. Z kartónu tvaru obdĺžnika $30 \times 48$ cm má byť vyrobená otvorená krabica tak, že sa v každom rohu vyreže štvorec a potom sa zložia štyri bočné steny. Aký najväčší objem môže mať takto vytvorená krabica?

44. Výrobca vynaloží na produkciu $n$ kusov výrobkov za týždeň $50n + 20000$ Sk a je schopný ich predať za cenu $200 - 0,01n$ Sk za kus. Pri akom počte výrobkov za týždeň dosiahne výrobca najväčší zisk? Koľko je tento zisk?

45. Chlapec stojí na jednom brehu rovnej rieky širokej $0,5$ km, ktorá tečie rýchlosťou $4$ km/h a chce sa dostať na miesto na opačnom brehu vzdialené $3$ km po prúde rieky. Za aký najmenší čas to stihne, ak pláve rýchlosťou $2$ km/h a kráča rýchlosťou $6$ km/h?

46. Učiteľ dovolil študentom, aby si zvolili prirodzené číslo $n$ s tým, že každý študent, ktorý bude mať z testu aspoň $100 \left( 1 - \frac{12n}{10n^2+21} \right)$ bodov, urobí úspešne skúšku. Aká hodnota $n$ je pre študentov najvýhodnejšia?

47. Nájdite príklad konvexnej funkcie $f$, pre ktorú je funkcia $\frac{1}{f}$ konkávna.

48.

b )

Môže byť inverzná funkcia ku konvexnej funkcii konvexná?

c )

Môže funkcia nadobudnúť lokálne minimum v inflexnom bode?

d )

Môže byť prvá derivácia záporná v inflexnom bode funkcie?

e )

Môže mať funkcia $f'$ viac lokálnych extrémov ako funkcia $f$?

f )

Môže mať funkcia $f'$ viac inflexných bodov ako funkcia $f$?

49. Dokážte, že pre všetky $x \in (0,\frac{\pi}{2})$ platí $\sin x > \frac{2x}{\pi}$.

50. Dokážte, že pre všetky reálne čísla $x$ platí $\cosh x \geq 1 + \frac{x^2}{2}$.

51. Dokážte, že pre všetky $x \in \langle 0,1 \rangle$ platí $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.

52. Dokážte, že pre všetky $x \in \langle -1,1 \rangle$ platí $\arccos \frac{1-x^2}{1+x^2} = 2\mbox{arctg}\,x$.

53. Dokážte, že rovnica $x^5 + 3x - 6 = 0$ má jediné reálne riešenie a nájdite interval dĺžky $1$, v ktorom sa toto riešenie nachádza.

54. Dokážte, že rovnica $x^5 + x^4 + x^2 + 10x - 15 = 0$ má jediné kladné riešenie a nájdite interval dĺžky $1$, v ktorom sa toto riešenie nachádza.

55. Vyšetrite priebehy funkcií

$$\begin{array}{llllll} {\mathrm a)} & y = 2x^3 - 9x^2 + 12x -... ...ace{2cm} & {\mathrm j)} & y = x^2 e^{\frac{1}{x}} . \end{array}$$

56. Metódou bisekcie alebo metódou regula falsi určte aproximácie koreňov rovníc

$$\begin{array}{ll} \hbox{a) } x^3 -3x+1=0,& \hbox{c) }\ \hbo... ...x{b) } \hbox{e}^x =x+2,& \hbox{d) }\ \sin x =3x-2. \end{array}$$

57. Metódou bisekcie určte aproximácie reálnych koreňov rovníc
$\hbox{a) } x+ \hbox{e}^x =0, \ \ \ \hbox{b) } x^5 -x-2 =0$ s presnosťou 0,01.

58. Použijúc dva kroky metódy bisekcie, nájdite približnú hodnotu reálneho koreňa rovnice $x^3 -10x +5 =0$ , ktorý sa nachádza v intervale $\langle 0; 0,6\rangle$. Približné riešenia $x_1,x_2$ vypočítajte na dve desatinné miesta. Odhadnite chybu približnej hodnoty $x_2$.

59. Metódou regula falsi alebo metódou bisekcie určte aproximáciu koreňov rovnice z predchádzajúceho cvičenia s chybou $\varepsilon =10^{-2}$. Pri metóde bisekcie určte počet krokov potrebných k dosiahnutiu požadovanej aproximácie.

60. Metódou regula falsi nájdite aproximáciu kladného koreňa rovnice $x^4 -2x -4=0$ s presnosťou $0,001$.

61. Metódou prostej iterácie riešte rovnice z vyššie uvedeného cvičenia. Preverte postačujúce podmienky konvergencie. Iteračnýproces zastavte podmienkou $\vert x- x_{k-1} \vert < 10^{-3}$. Určte odhad chyby vypočítanej aproximácie koreňa.

62. Metódou prostej iterácie riešte rovnicu $x+ \ln x =0$ . Posúďťe iteračné vzorce

$$x_k = - \ln x_{k-1};\ \ x_k =e^{-x_{k-1}};\ \ x_k = \frac{x_{k-1} + e^{-x_{ k-1}}}{2}$$

z hľadiska a) konvergencie b) rýchlosti konvergencie.

63. Nájdite aproximáciu najmenšieho nezáporného koreňa nasledujúcich rovníc (s presnosťou $10^{-5}$). Použite metódu prostej iterácie.

$$\begin{array}{ll} \hbox{a) } \hbox{e}^x-2(x-1)^2 =0, & \hbox... ...i x =0. \\ \hbox{b) } \hbox{e}^{-x} -(x-1)^2 =0,& \end{array}$$

64. Metódou prostej iterácie stanovte aproximáciu dvoch najmenších kladných koreňov rovnice $x \cos x = \sin x - \pi/2$. Vyjasnite otázku konvergencie metódy pre rôzne volené funkcie $\phi$.

65. Nájdite aproximácie prvých dvoch kladných koreňov rovnice $\mbox{tg}\,x=x$ a) Newtonovou metódou b) metódou sečníc. Výpočet zastavte, ak bude platiť $\vert x_k-x_{k-1}\vert < 10^{-6}$. Počiatočnú aproximáciu určte grafickou metódou.

66. Použijúc dvakrát metódu dotyčníc, nájdite približnú hodnotu reálneho koreňa rovnice $x^4 -8x +1 =0$, ktorý sa nachádza v intervale $\langle 1,6;2\rangle$. Približné hodnoty vypočítajte na dve desatinné čísla. Odhadnite chybu približnej hodnoty $x_2$.

67. Použijúc päťkrát metódu sečníc, nájdite približné riešenie rovnice $2x - \cos x =0$, ktoré sa nachádza v intervale $\langle 0; 0,5\rangle$ s presnosťou na tri platné číslice. Ako štartovaciu metódu použite metódu delenia intervalu.

68. Vypočítajte približnú hodnotu koreňa rovnice $x- \sin x -\pi /4 =0$, ktorý leží v intervale $\langle \pi/2, 3\pi /4 \rangle$. Použite metódu sečníc s presnosťou na päť desatinných miest.