Derivácie základných elementárnych funkcií

Nasledujúce vzťahy platia pre všetky hodnoty premennej $x$ z definičných oborov príslušných funkcií, ak nie je uvedené inak:

1. $(x^a)' = ax^{a-1}$, kde $a$ je ľubovoľné reálne číslo,
2. $(a^x)' = a^x \ln a$, kde $a > 0,\ a \neq 1$, špeciálne $(e^x)' = e^x$,
3. $(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$, kde $a > 0,\ a \neq 1$, špeciálne $(\ln x)' = \frac{1}{x}$,
4. $(\sin x)' = \cos x,\quad (\cos x)' = -\sin x,\quad$
   $(\mbox{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x},\quad (\mbox{cotg}\,x)'= -\frac{1}{\sin^2 x}$,
5. $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,     $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,    $x \in (-1,1)$,
   $(\mbox{arctg}\,x)' = \frac{1}{1+x^2}$,     $(\mbox{arccotg}\,x)' = -\frac{1}{1+x^2}$
6. $(\sinh x)' = \cosh x,\quad (\cosh x)' = \sinh x,\quad$
   $(\mbox{tgh}\,x)' = \frac{1}{\cosh^2 x},\quad (\mbox{cotgh}\,x)'= -\frac{1}{\sinh^2 x}$,

Platnosť vzťahu $(3)$ a prvého zo vzťahov $(4)$ sme ukázali v príklade 2. Platnosť ďalších vzťahov overíme v príkladoch nasledujúcej časti a v cvičeniach na konci kapitoly.

Príklad 3. Vypočítajme deriváciu funkcie $y = \sqrt[3]{x}$.

Riešenie: Pri počítaní derivácie prepíšeme odmocniny do tvaru mocniny s racionálnym exponentom a použijeme vzťah $(1)$:

$$y' = \left( (x)^{\frac13}\right)' = \frac13 x^{\frac13 - 1} = \frac13 x^{-\frac23} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}.$$

$\clubsuit$