Párne, nepárne funkcie a operácie

Súčet aj rozdiel dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna (nepárna) funkcia.
Súčin aj podiel (ak existuje) dvoch párnych aj dvoch nepárnych funkcií je párna funkcia. Súčin aj podiel (ak existuje) párnej a nepárnej funkcie je nepárna funkcia.
Funkcia zložená (ak existuje) z dvoch párnych alebo z dvoch nepárnych je párna.
Funkcia zložená (ak existuje) z párnej a nepárnej funkcie je nepárna.
Funkcia inverzná k párnej funkcii neexistuje (prečo?).
Funkcia inverzná k nepárnej funkcii (ak existuje) je nepárna.
Niektoré vlastnosti funkcií sa navzájom vylučujú.

Príklad 9. Ukážeme, že neexistuje párna monotónna funkcia.

Riešenie: Predpokladajme, že $f$ je párna rastúca funkcia. Zvoľme ľubovoľné číslo $r \in D(f) \cap (0,\infty)$ (prečo také číslo určite existuje?). Keďže $f$ je párna, aj $-r \in D(f)$ a naviac $f(r) = f(-r)$. Keďže $f$ je rastúca a $-r < r$, platí $f(-r) < f(r)$, čo je spor. Preto neexistuje párna rastúca funkcia. Analogickú argumentáciu neexistencie párnej klesajúcej funkcie nechávame na čitateľa. $\clubsuit$