Témy otázok inžinierskych štátnic pre študijný program Matematicko-počítačové modelovanie:
1. Riešenie hyperbolického systému s konštantnými koeficientami
Popíšte riešenie lineárneho hyperbolického systému parciálnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami v jednorozmernom prípade pomocou charakteristických rýchlostí a premenných. Formulujte predpoklady, kedy je tento postup možný. (LeVeque, str. 31-32)
2. Metóda konečných objemov pre hyperbolické rovnice
Popíšte všeobecný tvar metódy konečných objemov na riešenie skalárnej nelineárnej hyperbolickej rovnice pre jednorozmerný prípad. Použite upwind metódu pre toky cez hranicu kontrolného objemu pre prípad lineárnej rovnice s konštantnými koeficientmi (LeVeque, str.73-74).
3. Nelineárny model hustoty premávky
Popíšte nelineárnu hyperbolickú rovnicu pre matematický model hustoty premávky v konzervatívnom a nekonzervatívnom tvare. Popíšte riešenie rovnice v nekonzervatívnom tvare pre spojitú počiatočnú hustotu v tvare vlny pomocou charakteristických kriviek (LeVeque, str.203-208).
4. Riešenie Riemannovej úlohy pre model hustoty premávky
Popíšte riešenie Riemanovej úlohy pre model hustoty premávky s prípustným a neprípustným šokom, definujte rýchlosť prípustného šoku, nakreslite príslušné charakteristické krivky.
5. Architektúra paralelných počítačov, modely paralelného programovania, charakteristika štandardu MPI (Message Passing Interface)
6. Základy paralelného programovania v prostredí MPI, príkazy hromadnej a jednoduchej (point-to-point) komunikácie
7. Základné princípy metódy okrajových prvkov
Charakterizujte metódu hraničných elementov. Načrtnite základný postup riešenia okrajových úloh pomocou BEM a ilustrujte ju na príklade okrajových úloh pre stacionárne vedenie tepla v homogénnom, izotropnom kontinuu. Porovnajte základné atribúty BEM a FEM.
8. Princípy diskretizácie v metóde okrajových prvkov
Hraničné elementy. Diskretizácia hranice v 2-d a 3-d úlohách. Aproximácia geometrie a fyzikálnych polí interpoláciou. Lineárne 1 a 2 – rozmerné elementy.
9. Konvolúcia a lineárna difúzia v spracovaní obrazu
Popíšte operáciu konvolúcie, v diskrétnom a spojitom tvare, v spracovaní obrazu a jej vzťah s rovnicou lineárnej difúzie (vedenia tepla). Diskutujte ich vlastnosti a využitie vo filtrácii a segmentácii obrazu.
10. Modely nelineárnej difúzie v spracovaní obrazu
Popíšte základné modely v tvare parciálnych diferenciálnych rovníc používané vo filtrácii a segmentácii obrazu, ako sú základná a regularizovaná Perona-Malikova rovnica a level-set rovnice riadené krivosťou. Diskutujte ich vlastnosti a využitie vo filtrácii a segmentácii obrazu.
11. Diskretizácia nelineárnych difúznych rovníc semi-implicitnou schémou konečných objemov
Odvoďte semi-implicitnú metódu konečných objemov na riešenie regularizovanej Perona-Malikovej rovnice, popíšte SOR algoritmus riešenia lineárneho systému, ukážte stabilitu numerického riešenia.
12. Level-set rovnice pre pohyb kriviek a plôch a ich numerické riešenie
Odvoďte úrovňovú (level-set) formuláciu pohybu uzavretej 2D krivky resp. 3D plochy rýchlostným poľom v a jej špeciálne prípady, ako je pohyb v smere normály rýchlosťou F(x) a pohyb závislý od strednej krivosti. Pre posledný prípad odvoďte stabilnú semi-implicitnú numerickú schému konečných objemov a popíšte ako sa level-set modely využívajú v segmentácii obrazu.
13. Diskretizácia level-set rovníc semi-implicitnou schémou konečných objemov
Odvoďte semi-implicitnú metódu konečných objemov na riešenie level-set rovnice pre pohyb riadený krivosťou, popíšte SOR algoritmus riešenia lineárneho systému, ukážte stabilitu numerického riešenia.
14. Numerické riešenie eliptickej PDR.
Sformulujte okrajový problém pre eliptickú PDR s rôznymi okrajovými podmienkami v 2D. Definujte slabé riešenie tejto úlohy a jeho existenciu. Navrhnite numerickú schému založenú na metóde konečných objemov a sformulujte základné predpoklady pre dôkaz konvergencie numerického riešenia ku slabému riešeniu úlohy.
15. Numerické riešenie parabolickej PDR.
Sformulujte počiatočno-okrajový problém. Definujte slabé riešenie tejto úlohy. Navrhnite numerickú schému založenú na Rotheho metóde v kombinácii s metódou konečných objemov a sformulujte základné predpoklady pre dôkaz konvergencie numerického riešenia ku slabému riešeniu úlohy.
16. Parametrická krivka a parametrizácia.
Uveďte definíciu parametrickej krivky aj s príkladom. Definujte dotykový vektor, hlavnú normálu a regulárnu krivku. Odvoďte vzťah pre výpočet dĺžky krivky. Definujte 1-parametrizáciu množiny. Definujte reparametrizáciu a stručne popíšte význam tohto pojmu. Definujte prirodzenú reparametrizáciu, sformulujte tvrdenie o tom, kedy existuje, a popíšte, ako by ste ju získali.
17. Zakrivenie parametrickej krivky
Definujte krivosť pre krivku s ľubovoľným rozmerom a odôvodnite, prečo sa krivosť definuje práve týmto spôsobom. Pre rovinnú krivku definujte znamienkovú krivosť a uveďte ilustračné príklady. Pre trojrozmernú krivku definujte Frenetov repér a torziu, sformulujte Frenetove-Serretove vzťahy a objasnite, čo vyjadrujú. Sformulujte fundamentálnu vetu o krivkách v 3D a uveďte stručnú osnovu dôkazu.
18. Regresná úloha v štatistickom modelovaní
Princíp a predpoklady lineárneho regresného modelu, odhad parametrov. Význam krížovej validácie a bootstrap metódy. Zovšeobecnenia lineárneho modelu (GAM, GLM).
19. Klasifikačná úloha v štatistickom modelovaní
Dva základne prístupy ku konštrukcii pravdepodobnostných klasifikátorov, konkrétne metódy a ich princíp. Vyhodnotenie presnosti (celkové a špecifické chyby, význam ROC a AUC).
20. Metódy neasistovaného štatistického modelovania.
Modelovanie združeného rozdelenia pravdepodobnosti (marginálne rozdelenie, podmieňovanie, nezávislosť, parametrické a neparametrické modely, rozklad, odhad parametrov), analýza hlavných komponentov (význam a princíp) a zhluková analýza (metódy).
21. Návrh regresného experimentu.
Vysvetlite pojem experiment, pokus. Čo je cieľom optimalizácie experimentu? Čo je to návrh experimentu? Určte základný postup pri určovaní optimálneho návrhu experimentu.
22. Regresný model experimentu s nekorelovanými meraniami.
Lineárny regresný model. Dokážte, že v prípade regulárnej informačnej matice M sú odhady získané lineárnou regresiou nevychýlené a efektívne s kovariančnou maticou M-1. Linearizácia nelineárnej regresie, posúdenie presnosti linearizácie.
23. Kritériá optimality regresného experimentu
Vysvetlite pojem kritéria optimality návrhu experimentu. Uveďte základné skupiny kritérií optimality
a zaraďte do nich Vami známe kritériá optimality. Odvoďte gradient pre aspoň jedno vami vybrané kritérium. Ako ohodnocujeme stupeň optimality návrhu?.
24. Metódy výpočtu optimálneho návrhu experimentu.
Zhrňte a popíšte súhrnné a čiastkové kritéria optimality. Popíšte iteračnú metódu pre súhrnné kritérium D-optimality a univerzálnu iteračnú metódu.
25. Lineárne programovanie a metóda vnútorného bodu.
Formulácia úlohy lineárneho programovania pre metódu vnútorného bodu, duálna úloha, podmienky komplementarity, centrálna cesta, metóda vnútorného bodu a Newtonova metóda pre centrálnu cestu.
26. Matematické programovanie – základné pojmy a Karush-Kuhn-Tuckerove podmienky.
Formulácia úlohy, účelová funkcia, ohraničenia v tvare rovníc a nerovníc, prípustná množina, optimum. Formulácia duálnej úlohy, Karush-Kuhn-Tuckerove podmienky a ich odvodenie.
27. Bariérová metóda na riešenie úlohy konvexného programovania
Formulácia úlohy konvexného programovania, bariérová funkcia, centrálna cesta, algoritmus bariérovej metódy, Newtonova metóda pre funkciu s bariérou a ohraničeniami v tvare rovníc.
28. Úloha optimálneho riadenia pre fixný koncový čas
Sformulujte úlohu optimálneho riadenia pre fixný koncový čas a spôsob jej riešenia. Použite a vysvetlite pojmy ako riadiaca a stavová funkcia, stavová diferenciálna rovnica, počiatočný stav, voľný alebo fixný koncový stav, účelová funkcia, Hamiltonián, adjungovaná úloha, nutné podmienky existencie riešenia.
29. Optimálne riadenie pohybu hmotného bodu
Sformulujte príklad optimálneho riadenia s fixným koncovým časom pre pohyb hmotného bodu v rovine s konštantným zrýchlením, keď riadiacou funkciou je smer zrýchlenia a keď maximalizujete hodnotu koncového stavu pre horizontálnu zložku rýchlosti. Načrtnite spôsob riešenia úlohy pomocou nutnej podmienky pre jeho existenciu, pričom zvoľte voľné i fixné koncové stavy.
30. Stochastické optimalizačné metódy, simulované žíhanie.
Formulácia úlohy, stručný opis metódy Monte Carlo, horolezeckého algoritmu a simulovaného žíhania. Metropolisov algoritmus simulovaného žíhania a jeho aplikácia na úlohy hľadania najkratšej Hamiltonovskej cesty prechádzajúcej danými bodmi roviny.