Cvičenia

V nasledujúcich príkladoch nájdite všeobecné riešenia diferenciálnych rovníc:
44. $y^{\prime \prime}- y^{\prime} -2y=0.$
45. $y^{\prime \prime}+25y=0.$
46. $y^{\prime \prime}- y^{\prime}=0.$
47. $y^{\prime \prime}- 4y^{\prime} +4y=0.$
48. $y^{\prime \prime}-7y^\prime+6y=0.$
49. $y^{\prime \prime}+y^\prime-2y=0.$
50. $y^{\prime \prime}+y=0.$
51. $y^{\prime \prime}-2y^\prime-y=0.$
52. $4\frac{d^2x}{dt^2} -20 \frac{dx}{dt}+25 x =0.$
53. $y^{\prime \prime}-4y^\prime+13y=0.$
Nájdite také riešenia nasledujúcich diferenciálnych rovníc, ktoré vyhovujú podmienkam:
54. $y^{\prime \prime}- 10y^{\prime} +25y=0,$ $y(0)=0,\ \ y^{\prime}(0)=1$
55. $y^{\prime \prime}- 2y^{\prime} +10y=0,$ $y(\frac{\pi}{6})=0,\ \ y^{\prime}(\frac{\pi}{6})=e^{\frac{\pi}{6}}$
56. $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime} =0,$ $y(0)=1,\ \ y^{\prime}(0)=2$
57. $y^{\prime \prime}+4 y =0,$ $y(0)=4,\ \ y(3\pi/4)=3$
58. $y^{\prime \prime}-12 y =0,$ $y=\frac{4}{e^2}$ , pre $x=\frac{1}{\sqrt3}$ a $y = 4$ ak $x=0$
59. $9\frac{d^2y}{dx^2}+16 y =0,$ $y(0)=-9,\ \ y^{\prime}(0)=12\frac{1}{2}$
Riešte diferenciálne rovnice s pravou stranou:
60. $y^{\prime \prime} -7 y^\prime +6 y = \sin x.$
61. $y^{\prime \prime} +2y^\prime +5y =-\frac{17}{2} \cos 2x .$
62. $2y^{\prime \prime} + y^\prime -y =2 e^x .$
63. $y^{\prime \prime} +a^2y =e^x .$
64. $y^{\prime \prime} - 6 y^\prime +9y = 2x^2-x+3 .$
65. $y^{\prime \prime} +4 y^\prime -5y =1.$
Pre diferenciálnu rovnicu
$y^{\prime \prime} -4y^\prime +4y =f(x)$
nájdite všeobecné riešenia, ak pravá strana $f(x)$ je tvaru:
66. $f(x)= e^{-x}.$
67. $f(x)= 3e^{2x}.$
68. $f(x)= 2(\sin 2x +x).$
69. $f(x)= 8(x^2+e^{2x} +\sin 2x).$
Pre diferenciálnu rovnicu
$y^{\prime \prime} +y =f(x)$
nájdite všeobecné riešenia, ak pravá strana $f(x)$ je tvaru:
70. $f(x)= 2x^3-x+2.$
71. $f(x)= -8\cos 3x.$
72. $f(x)= \cos x.$
73. $f(x)= \sin x -2 e^{-x}.$
74. Ihla istého nástroja opisuje oblúk $\Theta$, ktorý vyhovuje diferenciálnej rovnici

$$\frac{d^2 \Theta}{dt^2} + 5 \frac{d\Theta}{dt} + 6 \Theta =0.$$

Nájdite uhol $\Theta$ ako funkciu času $t$ ak pre $t=0$ bola jeho pozícia nulová, ale rýchlosť pohybu bola $2 \hbox{rad\ s}^{-1}$. Nájdite maximálny uhol vychýlenia ihly od nulovej pozície a načrtnite graf závislosti $\Theta$ od času $t$. 75. Teplota telesa $y$ stupňov $t$ minút potom ako bolo teleso premiestnené do istej miestnosti vyhovuje diferenciálnej rovnici

$$6 \frac{d^2 y}{dt^2} +\frac{dy}{dt} =0.$$

Nájdite závislosť teploty $y$ od času $t$, ak platí $y=63$ pre $t=0$ a $y=36$ pre $t=6 \ln 4$. Určte, za koľko minút rýchlosť ochladzovania telesa klesne pod jeden stupeň za minútu. Svoju odpoveď zaokrúhlite na minúty. Akú teplotu bude mať v tom čase teleso? 76. Nájdite riešenie diferenciálnej rovnice

$$y^{\prime \prime} +9y =18,$$

pre ktoré $y$ dosahuje maximum v bode $(\frac{\pi}{2},6)$. Nájdite minimálnu hodnotu $y$ a hodnoty $x$, pre ktoré je $y = 0$. 77. Bod sa pohybuje priamočiaro tak, že v čase t jeho posun od pevného bodu na tejto priamke je $x$ a rovnica tohoto pohybu je

$$\frac{d^2x}{dt} =-4x.$$

Vieme, že $x=3$ a $\frac{dx}{dt} = -6$ pre $t=\frac{\pi}{4}$. Nájdite: a) $x$ v závislosti na $t$, b) hodnoty $x$ a $\frac{dx}{dt}$ pre $t=\frac{3\pi}{4}$ c) najmenšiu kladnú hodnotu $t$ pre ktorú je $x=0$. Výsledok vypočítajte približne (viď 1. diel skrípt, kapitola 7)
V nasledujúcich cvičeniach nájdite všeobecné riešenia rovníc vyšších rádov.
78. $y^{IV} -2y^{\prime \prime \prime}+ y^{\prime \prime}=0.$
79. $y^{IV} +a^4y=0.$
80. $y^{\prime \prime \prime} -2y^{\prime \prime}+ y^{\prime}=0.$
81. $y^{\prime \prime \prime}=\frac{1}{x}.$
82. $y^{\prime \prime \prime}=\cos 2x.$
V nasledujúcich cvičeniach nájdite všeobecné riešenia diferenciálnych rovníc použijúc metódu variácie konštánt:
83. $y^{\prime \prime} - y =\frac{2e^x}{e^x-1} .$
84. $y^{\prime \prime} -2 y^\prime+ y =\frac{e^{x}}{x} .$
85. $y^{\prime \prime} +2 y^\prime+ y =\frac{e^{-2x}-1}{e^{-x}+1} .$