Cvičenia

V nasledujúcich úlohách riešte diferenciálne rovnice so separovanými premennými.
8. $10^x-10^{-y} y' =0.$
9. $1-2x-y^2 y'=0.$
10. $\frac{1}{1+x^2} +\frac{y'}{1+y^2} =0.$
11. Nájdite riešenie ODR so separovanými premennými so začiatočnou podmienkou:

$$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y y'}{\sqrt{1-y^2}}=0,\ \ y(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Riešte separovateľné ODR:
12. $1+y^2 +xyy'=0$.
13. $-1 + e^{-y}(1+y')=0.$
14. $e^{x+y}- y^\prime =0.$
15. $2y-x^3 y^\prime=0.$
16. $(y-1)(y-2) -y^\prime=0.$
17. $(1+e^x) y y^\prime = e^x$.
18. $y^\prime x^3 +xy=0$.
19. Pomocou substitúcie $z=(1+x)y$ riešte diferenciálnu rovnicu

$$\frac{dy}{dx} +\frac{y}{1+x} = \cos x,$$

ak pre $x=0$ platí: $y = 0$.
V nasledujúcich cvičeniach nájdite riešenia ODR s Cauchyho začiatočnou podmienkou:
20.

$$\frac{x}{1+y} -\frac{yy'}{1+x} =0,\ \ y(0)=1.$$

21.

$$\frac{dy}{dx}=\mbox{tg}\,y \; \mbox{cotg}\,x,\ \ y(\frac{\pi}{2}) =\frac{\pi}{6}.$$

22.

$$e^{x-y} - y^\prime =0,\ \ y(0)=1.$$