Práca

Na výpočet práce vykonanej silou $F(x)$ pôsobiacou v intervale $\langle a,b \rangle$ používame vzťah

$$A~= \int\limits_a^b F(x)\,dx.$$

-

Príklad 44. Akú prácu potrebujeme na roztiahnutie pružiny o $4\ cm$, ak sila potrebná na jej roztiahnutie o $1\ cm$ je $1\ N$.

Riešenie: Označme $x$ dĺžku, o ktorú je pružina roztiahnutá. Hookov zákon hovorí, že sila potrebná na rozťahovanie pružiny je priamo úmerná dĺžke roztiahnutia pružiny, t.j. $F(x) = kx$. Konštantu $k$ vypočtame z podmienky $F(0,01) = k.0,01 = 1$ (kvôli súladu fyzikálnych jednotiek meriame dĺžku v metroch), teda $k = 100$. Hladaná práca je

$$A~= \int\limits_0^{0,04} 100 x\,dx = 50 [x^2]_0^{0,04} = 0,08 J.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 45. Nájdeme prácu potrebnú na odčerpanie vody z koryta tvaru polvalca dĺžky $h$ a polomerom podstavy $r$.

Riešenie: Rozložme celý objem vody v koryte na veľmi tenké vodorovné vrstvy hrúbky $dx$.

Obrázok 2.5: Voda v koryte.

Tvar vrstvy, ktorá je v hĺbke $x$ pod hladinou môžeme považovať za kváder s rozmermi $h,\ 2\sqrt{r^2 - x^2}$ (podstava) a $dx$ (výška). Na jej odčerpanie vynaložíme prácu rovnú súčinu jej objemu, hustoty vody $\varrho$, gravitačného zrýchlenia $g$ a dráhy $x$

$$A(x) = \varrho g h x 2 \sqrt{r^2 - x^2} dx.$$

Preto celková práca potrebná na odčerpanie vody je

$$A~= \int\limits_0^r 2 \varrho g h x \sqrt{r^2 - x^2}\,dx = ... ...\int\limits_0^r x \sqrt{r^2 - x^2} = \frac23 \varrho g h r^3.$$

$\clubsuit$