Guldinove vety

Guldinova prvá veta.
Majme v rovine danú priamku $o$ a krivku $C$ ležiacu celú v jednej polrovine určenej priamkou $o$. Obsah povrchu rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky $C$ okolo osi $o$ sa rovná súčinu dĺžky krivky a dĺžky kružnice, ktorú pri tejto rotácii opíše ťažisko krivky.

Guldinova druhá veta.
Majme v rovine danú priamku $o$ a oblasť $D$ ležiacu celú v jednej polrovine určenej priamkou $o$. Objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou oblasti $D$ okolo osi $o$ sa rovná súčinu obsahu oblasti a dĺžky kružnice, ktorú pri tejto rotácii opíše ťažisko oblasti.

Poznamenajme, že obidve vety platia len pre homogénne útvary. Obidve vety vyjadrujú vzťah medzi tromi veličinami, z ktorého je možné z hodnôt dvoch z nich vypočítať tretiu.

-

Príklad 40. Nájdeme súradnice ťažiska
a) homogénnej polkružnice $x^2 + y^2 = r^2,\ y \geq 0,$ b) homogénneho polkruhu $x^2 + y^2 = r^2,\ y \geq 0.$

Riešenie: a) Poznamenajme, že túto úlohu sme riešili v predchádzajúcej časti priamo. Z dôvodov symetrie je $x$-ová súradnica ťažiska rovná $0$. Rotáciou okolo osi $o_x$ vytvorí polkružnica guľovú plochu so známym povrchom $S = 4 \pi r^2$. Podľa prvej Guldinovej vety sa táto hodnota rovná súčinu dĺžky polkružnice $\pi r$ a dĺžky kružnice, ktorú vytvorí pri rotácii ťažisko $2 \pi T_y$. Preto

$$4 \pi r^2 = (\pi r) (2 \pi T_y),$$

odkiaľ $T_y = \frac{2 r}{\pi}$.
b) Z dôvodov symetrie je $x$-ová súradnica ťažiska $0$.Podľa druhej Guldinovej vety je objem gule vytvorenej rotáciou polkruhu rovný obsahu polkruhu a dĺžky kružnice opísanej pri rotácii ťažiskom

$$\frac43 \pi r^3 = (\frac{\pi}{2} r^2) (2 \pi T_y).$$

Preto $T = [0,\frac{4}{3 \pi} r]$. $\clubsuit$

-

Príklad 41. Vypočítame povrch a objem anuloidu vytvoreného rotáciou kružnice (kruhu) so stredom $S = [0,a]$ s polomerom $r < a$.

Riešenie: Použijeme Guldinove vety. Keďže ťažiskom homogénnej kružnice (aj kruhu) je jej stred, pre povrch anuloidu platí

$$S~= (2 \pi r) (2 \pi a) = 4 \pi^2 a~r$$

a pre jeho objem

$$V~= (\pi r^2) (2 \pi a) = 2 \pi^2 a~r^2.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 42. Nájdeme súradnice ťažiska časti asteroidy $x = a~\cos^3 t,\ y = a~\sin^3 t,\ t \in \langle 0,\frac{\pi}{2} \rangle$.

Riešenie: Krivka je súmerná podľa priamky $y = x$, preto sa obidve súradnice ťažiska rovnajú. Na výpočet súradnice $T_y$ použijeme prvú Guldinovu vetu (prečo nie druhú?) a využijeme výsledok Príkladu 0 $S = \frac65 \pi a^2$ a výsledok Príkladu 0$D = \frac32 a$. Preto

$$S~= D (2 \pi T_y),\qquad \frac65 \pi a^2 = \frac32 a~(2 \pi T_y),$$

odkiaľ $T = [\frac25 a,\frac25 a]$. $\clubsuit$

Kvôli oceneniu užitočnosti Guldinových viet odporúčame čitateľovi vyriešiť nasledujúci príklad aj bez použitia týchto viet.

-

Príklad 43. Vypočítame objem a obsah povrchu rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou štvorca so stredom v bode $C = [0,c]$ a stranou dĺžky $a < c\sqrt{2}$ (prečo je potrebná táto podmienka?, nezávisia hladané veličiny aj na polohe strán štvorca?).

Riešenie: Ťažisko je totožné so stredom štorca. Podľa prvej Guldinovej vety platí

$$S~= (4 a) (2 \pi c) = 8 \pi ac.$$

Podľa druhej Guldinovej vety platí

$$V~= (a^2) (2 \pi c) = 2 \pi a^2 c.$$

$\clubsuit$