Cvičenia

Vypočítajte obsahy rovinných oblastí ohraničených uvedenými krivkami. 148. Parabolou $y = 4x - x^2$ a osou $o_x$. 149. Parabolou $y = x^2 + 1$ a priamkou $x + y = 3$. 150. Parabolou $y = x^2 - 2$ a priamkou $y = 2$. 151. Osou $o_y$ a krivkou $x = y^2 - y^3$. 152. Krivkami $y = x^2$ a $y = x^3$. 153. Krivkou $y = \cos x$ a priamkou $y = -\pi$ pre $x \in \langle -\pi,\pi \rangle$. 154. Krivkou $y = \sin(\frac{\pi}{2} x)$ a priamkou $y = x$. 155. Krivkami $y = \sin x$ a $y = \cos x$ pre $x \in \langle \frac{\pi}{4},\frac{5 \pi}{4} \rangle$. 156. Krivkami $y = 2^x,\ y = 2x - x^2$, priamkou $x = 2$ a osou $o_y$. 157. Hyperbolou $xy = a$, priamkami $x = a,\ x = b,\ b > a$ a osou $o_x$. 158. Krivkou $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$, osou $o_x$ a priamkami $x = -1,\ x = 1$ (nevlastný integrál). 159. Krivkou $y = \ln x$ a osami $o_x,\ o_y$ (nevlastný integrál). 160. Krivkou $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, priamkou $x = 4$ a osou $o_y$ (nevlastný integrál). 161. Krivkou $y = \frac{1}{1+x^2}$ a osou $o_x$ (nevlastný integrál). 162. Parabolami $y = 4x^2,\ y = \frac{x^2}{9}$ a priamkou $y = 2$. 163. Krivkami $y = \ln x,\ y = \ln^2 x$. 164. Parabolou $y = x^2 - 2x + 2$, jej dotyčnicou v bode $T = [3,5]$ a osou $o_y$. 165. Krivkou $y^2 = x(x-1)^2$. 166. Krivkou $y = e^{-x}\sin x$ a osou $o_x$ v intervale $\langle 0,\pi \rangle$. 167. Krivkou určenou parametricky $x = a(t - \sin t),\ y = a(1 - \cos t),\quad t \in \langle 0,2\pi \rangle$ a osou $o_x$. 168. Krivkou určenou parametricky $x = 12\cos t + 5\sin t,\ y = 5\cos t - 12\sin t$, $t \in \langle 0, 2 \pi \rangle$. 169. Krivkou určenou parametricky $x = a\sin t,\ y = b\sin 2t,\quad t \in \langle 0,\pi \rangle$ 170. Krivkou určenou parametricky $x = 3\cos^3 t,\ y = -6\sin^3 t$, $t \in \langle 0, 2 \pi \rangle$. 171. Krivkou určenou parametricky $x = a\cos t,\ y = b\sin^3 t$, $t \in \langle 0, 2 \pi \rangle$. 172. Krivkou určenou parametricky $x = t^2 - 1,\ y = t^3 - t,\quad t \in \langle -1,1 \rangle$. 173. Krivkou určenou parametricky $x = 2t - t^2, \ y = 2t^2 - t^3,\quad t \in \langle 0,2 \rangle$. 174. Nech $f$ je spojitá a kladná funkcia v intervale $\langle 0,1 \rangle$ a nech plocha medzi grafom funkcie $f$ a osou $o_x$ v intervale $\langle 0,x \rangle$ je $\sin x$. Nájdite vyjadrenie funkcie $f$. 175. Nech $f$ je spojitá a kladná funkcia v intervale $\langle 0,\infty)$ a nech plocha medzi grafom funkcie $f$ a osou $o_x$ v intervale $\langle 0,x \rangle$ je $\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \sin x + \frac{\pi}{2} \cos x$. Nájdite $f(\frac{\pi}{2})$.