Cvičenia

V nasledujúcich príkladoch vypočítajte $\frac{dF}{dx}$.

 91. $F(x) = \int\limits_{0}^{x} \sqrt{1+t^2}\,dt$, 		 92. $F(x) = \int\limits_{x}^{5} \frac{dt}{t}$, 

 93. $F(x) = \int\limits_{1}^{x^2} \frac{dt}{1+\sqrt{1-t}}$, 		 94. $F(x) = \int\limits_{1}^{2x} cos(t^2)\,dt$, 

 95. $F(x) = \int\limits_{\sin x}^{0} \frac{dt}{2+t}$, 		 96. $F(x) = \int\limits_1^{\frac{1}{x}} \frac{dt}{t}$, 

 97. $F(x) = \int\limits_{\cos x}^{0} \frac{dt}{1-t^2}$, 		 98. $F(x) = \int\limits_{\sqrt{x}}^{10} \sin (t^2)\,dt$, 

 99. $F(x) = \int\limits_{x^2}^{x^3} \ln t\,dt$, 		 100. $F(x) = \int\limits_{\frac{1}{x}}^{x^2} e^{\sqrt{t}}\,dt$. 

Pomocou L'Hospitalovho pravidla vypočítajte limity.

 101. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3} \int\limits_0^x \frac{t^2}{t^4+1}\,dt$, 		 102. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3} \int\limits_0^{x^2} \sin \sqrt{t}\,dt$, 

V nasledujúcich príkladoch nájdite tú primitívnu funkciu $F$ k danej funkcii $f$, ktorá spĺňa danú podmienku.
103. $f(x) = x \ln x,\qquad F(1) = 0$,
104. $f(x) = \cos^2 2x \sin x,\qquad F(-\frac{\pi}{2}) = -13$,
105. $f(x) = \mbox{tgh}\,^2 x,\qquad F(0) = -1$,
106. $f(x) = 4x^3 - 6x + 11,\qquad F(1) = 2F(2)$.
107. Nech $f$ má kladnú deriváciu pre všetky $x \in \mathcal{R}$ a nech $f(1) = 0$. Ktoré z nasledujúcich tvrdení o funckii $F(x) = \int\limits_0^x f(t)\,dt$ sú určite pravdivé?
a) $F$ má deriváciu v každom $x \in \mathcal{R}$.
b) $F$ je spojitá funkcia.
c) Graf funkcie $F$ má dotyčnicu rovnobežnú s osou $o_x$ v bode $[1,0]$.
d) $F$ má lokálne maximum v bode $[1,0]$.
e) $F$ má lokálne minimum v bode $[1,0]$.
f) $F$ má inflexný bod v bode $[1,0]$.
g) Graf $\frac{dF}{dx}$ pretína os $o_x$ v bode $[1,0]$.