Metódy počítania určitého integrálu

Pre výpočet určitého integrálu modifikujeme metódy výpočtu neurčitého integrálu nalsedovne.

Metóda per partes pre určité integrály.

Nech funkcie $f$ a $g$ majú spojité derivácie v intervale $\langle a,b \rangle$. Potom platí

$$\int\limits_a^b f'(x)g(x)\,dx = \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int\limits_a^b f(x)g'(x)\,dx.$$ (2.5)

Substitučná metóda pre určité integrály.

$$\int\limits_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = \left( t = ... ...ht) = \int\limits_{t = \varphi(a)}^{t = \varphi(b)} f(t)\,dt.$$ (2.6)

Tento vzťah platí, ak $\varphi'$ je spojitá funkcia v intervale $\langle a,b \rangle$ a $f$ je spojitá funkcia v obore hodnôt funkcie $\varphi$. Uvedomme si, že hranice integrálu na pravej strane vzniknú dosadením hraníc pôvodnej premennej $x$ do vzťahu medzi novou a starou premennou $t = \varphi (x)$.

Pri počítaní určitých integrálov zo zložitejších funkcií môžeme postupovať v zásade dvomi spôsobmi

• Oddelíme fázu výpočtu primitívnej funkcie od fázy výpočtu určitého integrálu. Najskôr si nevšímame hranice a počítame len neurčitý integrál danej funkcie. Po vypočítaní použijeme jednu z nájdených primitívnych funkcií (spravidla volíme integračnú konštantu $c=0$) na dosadenie koncových bodov intervalu a výpočet určitého integrálu.
• Neoddelíme fázu výpočtu primitívnej funkcie od fázy výpočtu určitého integrálu. Počas výpočtu spájame techniku integrovania s dosadením hodnôt (metóda per partes), prípadne so zmenami hraníc (substitučná metóda).

Veríme, že použitie prvého spôsobu výpočtu čitateľovi nebude robiť problémy, preto sa v riešeniach obmedzíme na výpočet druhým spôsobom.

-

Príklad 4. Substitučnou metódou vypočítame určité integrály

$$\int\limits_{-2}^{-1} \frac{dx}{x^2+4x+5},\ \int\limits_0^... ...t{x})^2},\ \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \mbox{tg}\,^3 x\,dx.$$

Riešenie: V každom riešení naznačíme substitúciu a zmenu hraníc. Podrobnosti výpočtu necháme na čitateľa.

$$\int\limits_{-2}^{-1} \frac{dx}{x^2+4x+5} = \int\limits_{-... ...\left( t = x + 2 \right) = \int\limits_0^1 \frac{dt}{t^2+1} =$$

$$= \left[ \mbox{arctg}\,t \right]_0^1 = \frac{\pi}{4}.$$

$$\int\limits_0^{\sqrt{3}} \frac{4x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \le... ... \frac{2 dt}{\sqrt{t}} = 2 \int\limits_1^4 t^{-\frac12}\,dt =$$

$$= 4 \left[ \sqrt{t} \right]_1^4 = 4 (2 - 1) = 4.$$

$$\int\limits_1^4 \frac{dx}{2\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2} = \left... ...[ -\frac{1}{t} \right]_2^3 = -\frac13 - (-\frac12) = \frac16.$$

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \mbox{tg}\,^3 x\,dx = \int\l... ...\limits_{\cos 0}^{\cos \frac{\pi}{4}} -\frac{1-t^2}{t^3}\,dt =$$

$$\left[ \frac{1}{2t^2} + \ln t \right]_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}... ...qrt{2}}{2} - (\frac12 + \ln 1) \right) = \frac12 (1 - \ln 2).$$

$\clubsuit$

-

Príklad 5. Metódou per partes vypočítame určité integrály

$$\int\limits_0^1 x \sqrt{1-x}\,dx,\ \int\limits_0^3 \ln(x+3... ...\frac{x}{\sin^2 x}\,dx,\ \int\limits_0^{\ln 2} x \cosh x\,dx.$$

Riešenie:

$$\int\limits_0^1 x \sqrt{1-x}\,dx = \left[ -\frac23 x (1-x)... ...} \right]_0^1 + \frac23 \int\limits_0^1 (1-x)^{\frac32}\,dx =$$

$$= 0 - \left[ \frac23 \cdot \frac25 (1-x)^{\frac52} \right]_0^1 = \frac{4}{15}.$$

$$\int\limits_0^3 \ln(x+3)\,dx = \left[ x \ln(x+3) \right]_0... ...c{x}{x+3}\,dx = 3 \ln 6 - \left[ x - 3 \ln(x+3) \right]_0^3 =$$

$$= 3 \ln 6 - (3 - 3 \ln 6 + 3 \ln 3) = 6 \ln 6 - 3 \ln 3 - 3 = 3 (\ln 12 - 1).$$

$$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin^... ... \left[ \ln(\sin x) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} =$$

$$= \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3} \pi}{9} + + \ln \frac{\sq... ... \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3} \pi}{9} + \frac12 \ln \frac32.$$

$$\int\limits_0^{\ln 2} x \cosh x\,dx = \left[ x \sinh x \right]_0^{\ln 2} - \int\limits_0^{\ln 2} \sinh x\,dx =$$

$$= \ln 2 \left( \frac{e^{\ln 2} - e^{-\ln 2}}{2} \right) - 0 - \left[ \cosh x \right]_0^{\ln 2} =$$

$$= \ln 2 \left( \frac{2 - \frac12}{2} \right) - \left( \fra... ...}{2} - \frac{e^0 + e^0}{2} \right) = \frac34 \ln 2 - \frac14.$$

$\clubsuit$