Odmocnina z lineárnej lomenej funkcie

Ak máme integrovať funkciu, v ktorej sa okrem algebraických operácií vyskytuje odmocnina z lineárnej lomenej funkcie (špeciálne z lineárnej funkcie), t.j. $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ (špeciálne $\sqrt[n]{ax+b}$), tak použijeme substitúciu $t = \varphi(x) = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$
(t = $\sqrt[n]{ax+b}$). Pri tejto substitúcii je technicky výhodné vyjadriť inverznú funkciu $x = \varphi^{-1}(t)$ a $dx = \left(\varphi^{-1}\right)^{'}(t)\,dt$. Všetky tieto vzťahy dosadíme do riešeného integrálu, ktorý tak prevedieme na integrál z racionálnej funkcie premennej $t$. -

Príklad 19. Vypočítame integrál $\int \frac{\sqrt{3x+4}}{x-\sqrt{3x+4}}\,dx$.

Riešenie: V tomto príklade použijeme substitúciu $t = \sqrt{3x+4},\quad x \in (-\frac43,\infty)$ a vyjadríme inverznú funkciu $x = \frac{t^2-4}{3}$ a tiež $dx = \frac{2t}{3}\,dt$. Dosadením dostávame integrál z racionálnej funkcie premennej $t$

$$I = \int \frac{t}{\frac{t^2-4}{3}-t}\left(\frac{2t}{3}\rig... ...3t-4} = 2 \int\left( 1 + \frac{3t+4}{t^2-3t-4} \right)\,dt.$$

Rýdzo racionálnu funkciu v integrále rozložíme na súčet elementárnych zlomkov.

$$\frac{3t+4}{t^2-3-4} = \frac{\frac{16}{5}}{t-4} - \frac{\frac{1}{5}}{t+1}$$

a pokračujeme v integrovaní

$$I = 2 \( t + \frac{16}{5} \ln \vert t-4\vert - \frac15 \ln \vert t+1\vert\)+ c.$$

Nakoniec výsledok vyjadríme v termínoch premennej $x$.

$$I = 2 \( \sqrt{3x+4} + \frac{16}{5} \ln \vert\sqrt{3x+4}-4\vert - \frac15 \ln \vert\sqrt{3x+4}+1\vert\)+ c.$$

$\clubsuit$

V prípade, že sa v integrovanej funkcii vyskytujú dve rôzne odmocniny $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ a $\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}$, použijeme substitúciu $t = \sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$, kde $k$ je najmenší spoločný násobok čísel $m$ a $n$. Podobne postupujeme aj vtedy, ak sa vyskytuje viac odmocnín z tej istej lineárnej lomenej funkcie. -

Príklad 20. Vypočítame integrál $\int\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}}\,dx$.

Riešenie: Najmenší spoločný násobok čísel $2,\ 3$ a $4$ je číslo $12$. Preto použijeme substitúciu $t = \sqrt[12]{x}$, vyjadríme $x = t^{12}$ a $dx = 12t^{11}\,dt$. Ďalej uvážime, že $\sqrt{x} = t^6$, $\sqrt[3]{x} = t^4$ a $\sqrt[4]{x} = t^3$ a dosadíme do pôvodného integrálu

$$I = \int\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}}\,dx = \... ...}{t^4 + t^6}12t^{11}\,dt = 12 \int \frac{t^{10}}{1+t^2}\,dt.$$

Posledný integrál (z racionálnej funkcie) rozložíme na súčet mnohočlena a rýdzo racionálnej funkcie a zintegrujeme

$$I = 12 \left( \int (t^8 - t^6 + t^4 - t^2 + 1)\,dt - \int \frac{1}{t^2+1}\,dt \right) =$$

$$= 12 \left( \frac{t^9}{9} - \frac{t^7}{7} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} + t - \mbox{arctg}\,t \right) + c =$$

$$= 12 \left( \frac{\sqrt[12]{x^9}}{9} - \frac{\sqrt[12]{x^7... ...3} + \sqrt[12]{x} - \mbox{arctg}\,\sqrt[12]{x} \right) + c.$$

$\clubsuit$