Neurčitý integrál

$$\int \sin^n x \cos^m x\,dx,$$

kde $n$ a $m$ sú celé čísla a aspoň jedno z nich je nepárne. Tento integrál úpravou a substitúciou $t = \cos x$, ak $n$ je nepárne alebo $t = \sin x$, ak $m$ je nepárne prevedieme na integrál z racionálnej funkcie. -

Príklad 17. Vypočítame integrál $\int \frac{1}{\cos^3 x}\,dx$.

Riešenie: V integrovanej funkcii sa vyskytuje len funkcia $\cos x$ a to v nepárnej mocnine ($\cos^{-3} x$). Preto úpravou a substitúciou $t = \sin x$, kde $dt = \cos x\,dx$ a $\cos^2 x = 1 - t^2$, dostávame

$$\int \frac{1}{\cos^3 x}\,dx = \int \frac{\cos x}{\cos^4 x}\,dx = \int \frac{dt}{(1-t^2)^2}.$$

Posledný integrál z rýdzoracionálnej funkcie riešime rozkladom na elementárne zlomky

$$\int \frac{dt}{(1-t^2)^2}\,dt = \frac14 \int \left( \fra... ...c{1}{1+t} + \frac{1}{(1-t)^2} + \frac{1}{1-t} \right)\,dt =$$

$$= \frac14 \left( - \frac{1}{1+t} + \ln\vert 1 + t\vert + \frac{1}{1-t} - \ln \vert 1 - t\vert \right) + c =$$

$$= \frac14 \left( \frac{2t}{t^2 - 1} + \ln \left\vert \frac{1+t}{1-t} \right\vert \right) + c.$$

Po spätnej substitúcii dostávame výsledok

$$\int \frac{1}{\cos^3 x}\,dx = \frac14 \left(- \frac{2 \s... ...\left\vert \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right\vert \right) + c.$$

$\clubsuit$