Cvičenia

1. Nájdite parametrické rovnice priestorovej krivky, ktorá je priesečníkom plôch

1. [a)] $y=x^2,\; z=e^x$,
2. [b)] $z=x^2-y^2,\; x^2+y^2=a^2$,
3. [c)] $x^2-x+y=0,\; x^2+z-1=0$.

2. Nájdite dĺžku priestorovej krivky

1. [a)] $x=4t,\; y=6t^2,\; z=6t^3,\; t \in \langle 0,1\rangle ,$
2. [b)] ${\bf p}(t)=[2t, \ln t, t^2],\; t \in \langle 1,e\rangle ,$
3. [c)] $x=e^t \cos t,\; y=e^t \sin t,\; z=e^t, \; t \in \langle 0,\pi\rangle$.
4. [d)] ${\bf p}(t)=3t^2 \; {\bf i}+(2t+3) \; {\bf j}+3t^3 \; {\bf k}$, od bodu $P=[12,-1,-24]$ po bod $P(t)$,
5. [e)] $x=\cos^3 t,\; y=\sin^3 t,\; z=\cos 2t, \; t \in \langle 0,t\rangle$.

3. Nájdite prirodzenú parametrizáciu priestorovej krivky

1. [a)] $x=e^t \cos t,\; y=e^t \sin t,\; z=e^t$,

4. Určte dotyčnicu, hlavnú normálu, binormálu, oskulačnú rovinu, prvú a druhú krivosť priestorovej krivky v danom bode

1. [a)] $x=t^2,\; y=t^3,\; z=t+1$ v bode $t=1$,
2. [b)] $x=2t+1,\; y=t^2-1,\; z=t^3$, v bode $t=0$,
3. [c)] $x=e^t \cos t,\; y=e^t \sin t,\; z=e^t$, v bode $t=0$

5. Ukážte, že pre krivku $x=t, y=t^2/2, z=t^3/6$ platí ${\mathcal K}={\mathcal T}$. 6. Nájdite rovnice dotyčnice a normály rovinnej krivky v danom bode

1. [a)] $y = x^3$ v bodoch s $x=0$ a s $x = 1$,
2. [b)] $y = \sin x$ v bodoch s $x=0$ a s $x=\pi$,
3. [c)] $x=t^3-2t,\; y=t^2+1$ v bode $P[1]$,
4. [d)] $x=\cos^3 t,\; y=\sin^3 t$ vo všeobecnom bode,
5. [e)] $(x^2+y^2)^2x-y^2=0$ v bode $P=[1/2,1/2]$,
6. [f)] $x^2/a^2-y^2/b^2=0$ vo všeobecnom bode $P=[x_0, y_0]$,
7. [g)] $r=\cos \varphi$ v bode $\varphi=\pi /4$.

7. Nájdite dĺžku rovinnej krivky medzi danými bodmi

1. [a)] $y=x^{3/2}$ medzi $x_1$ a $x_2$,
2. [b)] $x=\cos t + t \sin t, \; y=\sin t - t \cos t$ medzi $t_1$ a $t_2$,
3. [c)] $y=x^2/4-(\ln x)/2$ medzi $x_1=1$ a $x_2=4$,
4. [d)] $x=8at^3, \; y=3a(2t^2-t^4)$ medzi $t_1=0$ a $t_2=\sqrt 2$,
5. [e)] $r=1+\cos \varphi$ medzi $\varphi _1=0$ a $\varphi _2=\pi$.

8. Určte krivosť rovinnej krivky v danom bode

1. [a)] $y = \sin x$ vo všeobecnom bode $x$,
2. [b)] $x=t^2, \; y=t^3$ vo všeobecnom bode $t$,
3. [c)] $x=a \cos t, \; y=b \sin t$ vo všeobecnom bode $t$,
4. [d)] $r=a\varphi$ vo všeobecnom bode $\varphi$,
5. [e)] $y=x^4$ v bode $P=[0,0]$.

9. Nájdite evolútu rovinnej krivky

1. [a)] $y = x^2$,
2. [b)] $y = \ln x$.