Pojem limity funkcie dvoch premenných je omnoho komplikovanejší
v porovnaní s pojmom limity funkcie jednej premennej. Intuitívne,
ak hodnoty funkcie ležia "dostatočne blízko" čísla
pre všetky body
"blízke" ale nie rovné bodu
,
tak hovoríme, že
je limitou funkcie
v bode
.
Pre matematicky presnú definíciu potrebujeme zaviesť dva pojmy.
Pripomeňme najprv, že pri funkciách jednej premennej sme pod
(jednorozmerným) okolím bodu
(pričom
je buď reálne
číslo alebo jeden zo symbolov
,
) rozumeli
ľubovoľný otvorený interval obsahujúci
, resp.
ľubovoľný interval tvaru
alebo
ak
. V dvojrozmernom prípade, ak hovoríme o bode
, máme vždy na mysli, že obe súradnice
a
sú reálne čísla. A teraz k ohláseným novým pojmom:
Pre ľubovoľné číslo
pod
-okolím bodu
rozumieme množinu
Definícia limity funkcie dvoch premenných. Nech je obor
definície funkcie
a nech bod
je hromadným
bodom množiny
. Hovoríme, že funkcia
má v bode
limitu rovnú bodu
, čo symbolicky zapisujeme
v tvare
Definícia pojmu spojitosti. Nech je funkcia dvoch
premenných s oborom definície
a nech bod
je hromadným bodom množiny
. Hovoríme, že
funkcia
je spojitá v bode
, ak
Pri výpočte limít funkcií dvoch premenných používame
pravidlá, ktoré už poznáme z jednorozmerného prípadu. Ak
Každá elementárna funkcia dvoch premenných (t.j. funkcia vytvorená z konečného počtu polynómov, goniometrických, exponenciálnych funkcií a k nim inverzných funkcií použitím algebraických operácií a operácie skladania funkcií) je automaticky spojitá v každom hromadnom bode svojho definičného oboru.
-
Príklad 1.
Vypočítajme hodnotu limity
Riešenie: Hoci funkcia za znakom limity nie je v bode
definovaná, tento bod je hromadným bodom jej definičného oboru
(prečo?). Pri výpočte si pomôžeme rozšírením
čitateľa aj menovateľa výrazom
, a po
úprave napokon dostaneme limitu z elementárnej funkcie, ktorú
podľa vyššie uvedeného princípu vypočítame
jednoducho dosadením:
Komplikovanosť pojmu limity funkcie dvoch premenných tkvie aj v tom,
že k bodu je možné "približovať sa" bodmi
po
rôznych krivkách (na rozdiel od jednorozmerných limít, kde sme
sa k danému bodu mohli blížiť len zľava alebo sprava).
Toto pozorovanie sa v kombinácii s definíciou limity
často využíva na dôkaz neexistencie
limity funkcie
v bode
.
Postačujúca podmienka neexistencie limity. Ak sa nám podarí
nájsť dve krivky a
tak, že
(t.j. obe krivky sa "blížia" k bodu
), a pritom hodnoty jednorozmerných limít
a
nie sú
totožné (čiže funkčné hodnoty
sa pozdĺž kriviek
a
"blížia" k rôznym bodom), tak potom
funkcia
nemá v bode
limitu.
-
Príklad 2.
Ukážme, že neexistuje limita
Riešenie: Pokúsme sa "realizovať približovanie" ku bodu po
dvoch polpriamkach
a
, kde
a
. Ak
po prvej polpriamke, tak dosadením
do pôvodnej
limity dostaneme:
-
Príklad 3.
Presvedčme sa, že neexistuje limita
Riešenie: Vzhľadom na tvar našej funkcie tentoraz za
krivky "približovania sa" k bodu zvolíme dve paraboly,
a
, pričom, povedzme,
. Ak sa teraz
bod
"blíži" k
po prvej parabole, dostávame
z pôvodnej limity dosadením
a úpravou hodnotu
Pojem limity a spojitosti funkcií troch a viac premenných je možné zaviesť obdobne, a pravidlá zaobchádzania s limitami sú analogické pravidlám pre funkcie dvoch premenných.