Parametrické rovnice roviny

Ak poznáme jeden bod roviny $X_{0}$ a tiež jej dva nerovnobežné smerové vektory r a s, tak ľubovoľný bod $X$ priestoru leží v danej rovine práve vtedy, ak vektor $\vec{X- X_{0}}$ je lineárnou kombináciou vektorov r a s. To znamená, že existujú také reálne čísla $t$ a $u$, že platí

$$\vec{X - X_{0}}=t\vec{r} + u\vec{s}.$$

Rozpísaním tejto rovnice v súradniciach dostávame parametrické rovnice roviny určenej bodom $X_{0}=[x_{0},y_{0},z_{0}]$ a smerovými vektormi $\vec{r}=[r_{1},r_{2},r_{3}]$ a $\vec{s}=[s_{1},s_{2},s_{3}]$

$$[x,y,z]=[x_{0}+tr_{1}+us_{1},y_{0}+tr_{2}+us_{2},z_{0}+tr_{3}+us_{3}]$$ (2.27)

V tejto rovnici parametre $t$ a $u$ sú ľubovoľné reálne čísla. Poznamenajme ešte, že vo väčšine prípadov je práca s parametrickými rovnicami roviny dosť komplikovaná a preto sa prakticky nepoužívajú.

Príklad 15. Overíme, či bod $P[11,1,-12]$ leží v rovine určenej parametrickými rovnicami $[x,y,z] = [2-3t+u,-1-t,2t-3u]$.

Riešenie: Bod $P$ leží v danej rovine práve vtedy, ak existujú také čísla $t$ a $u$, pre ktoré platí

$$11 = 2 - 3t + u,\quad 1 = -1 -t, \quad -12 = 2t - 3u.$$

Z druhej rovnice vidíme, že ak také čísla existujú, tak $t = -2$. Dosadením tejto hodnoty do prvej a tretej rovnice dostaneme dve rovnice pre $u$. Prvá z nich má riešenie $u = 3$, kým druhá má riešenie $u = \frac83$. Preto bod $P$ neleží v danej rovine. Ak by mali posledné dve rovnice to isté riešenie, bod by v rovine ležal. $\clubsuit$