Konvexnosť, konkávnosť, inflexné body

Funkcia je konvexná (konkávna) v intervale $(a,b)$, ak jej graf je "otvorený nahor (nadol)". (Presná definícia konvexnosti a konkávnosti je pomerne náročná. Pre lepšiu názornosť pojmov si prezrite obrázky.)

Obrázok 7.1: Konvexná funkcia

Obrázok 7.2: Konkávna funkcia

Konvexnosť alebo konkávnosť môžeme určiť pomocou druhej derivácie.
Ak $f''(x) > 0\ (f''(x) < 0)$ platí pre každé $x \in (a,b)$, tak funkcia $f$ je konvexná (konkávna) v intervale $(a,b)$.
Bod, v ktorom sa funkcia mení z konvexnej na konkávnu alebo naopak voláme inflexný bod.
Inflexné body hľadáme podľa pravidla

Ak $a$ je inflexný bod funkcie $f$ a $f''(a)$ existuje, tak $f''(a) = 0$.

Príklad 31. Nájdeme intervaly, v ktorých sú konvexné a intervaly, v ktorých sú konkávne funkcie $y = x(3-x)^2,\ y = \ln(1+x^3),\ y = x\ arctg\ x$. Nájdeme aj inflexné body týchto funkcií.

Riešenie: Intervaly budeme hľadať za pomoci druhej derivácie.

b )

Definičný obor je množina ${\bf R}$. $y' = (3-x)^2 - 2x(3-x) = 3(3-x)(1-x)$ a $y'' = 3(x-1+x-3) = 6x - 12$. Druhá derivácia je kladná a preto funkcia je konvexná v intervale $(2,\infty)$ a druhá derivácia je záporná a preto funkcia je konkávna v intervale $(-\infty,2)$. Jediný inflexný bod je bod $[2,2]$.

c )

Definičný obor funkcie je interval $(-1,\infty)$. $y'' = \frac{3x(2-x^3)}{(1+x^3)^2}$ (overte!). Pretože menovateľ zlomku je v celom definičnom obore funkcie kladný, o znamienku rozhoduje čitateľ. Funkcia je konvexná v intervale $(0,\sqrt[3]{2})$ a konkávna v intervaloch $(-1,0)$ a $(\sqrt[3]{2},\infty)$. Funkcia má dva inflexné body $[0,0]$ a $[\sqrt[3]{2},\ln\ 3]$.

d )

Definičný obor je množina ${\bf R}$. $y' = arctg\ x + \frac{x}{1+x^2}$ a $y'' = \frac{2}{(1+x^2)^2}$ je kladná pre všetky $x \in {\bf R}$. Funkcia je konvexná v celej množine ${\bf R}$ a preto nemá inflexné body.

$\clubsuit$