Periodické funkcie a operácie

Súčet, súčin, rozdiel aj podiel (ak existuje) dvoch periodických funkcií s rovnakou periódou $p$ je periodická funkcia. (Čo môžeme povedať o jej perióde?) Zložená funkcia je periodická, ak je periodická jej vnútorná zložka.
Premyslite si: Funkcie $\sqrt{\sin x}$ a $\sin^2 x$ sú periodické (zistite ich periódu), ale funkcie $\sin \sqrt{x}$ a $\sin x^2$ periodické nie sú.
Periodická funkcia nemôže mať inverznú funkciu. (Prečo?)

Príklad 10. Načrtnime graf ľubovoľnej funkcie, ktorá je neohraničená zdola, rastie v intervale $(-1,1)$, klesá v intervale $(6,7)$ a je periodická s periódou $5$.

Riešenie: Stačí načrtnúť graf hľadanej funkcie v ľubovoľnom intervale dĺžky $5$ a potom ho periodicky rozšíriť. Zvoľme interval $(-1,4)$. Načrtneme rastúci graf v intervale $(-1,1)$ a klesajúci v intervale $(1,2)$ (prečo?), pričom v ľavom okolí čísla $2$ necháme graf strmo klesať do $-\infty$, aby sme splnili podmienku neohraničenosti zdola. V intervale $(2,4)$ môžeme graf načrtnúť ľubovoľne, pretože všetky podmienky sú splnené.

Obrázok: Graf funkcie, ktorá spĺňa podmienky príkladu 10

$\clubsuit$

Príklad 11. Popíšme vlastnosti funkcií určených nasledujúcimi rovnicami

$$f(x)=\frac{3x-5}{2-7x},\ g(x)=3-\sqrt{5-2x},\ h(x)=x^2+x+4$$

Riešenie: Nech $f(r) = f(s)$, teda $\frac{3r-5}{2-7r} = \frac{3s-5}{2-7s}$. Po vynásobení obidvomi menovateľmi a úpravách dostaneme

$$6r-10-21rs+35s = 6s-10-21rs+35r,$$

z čoho po ďalších úpravách vyplýva $r = s$, teda $f$ je prostá. Nech $r < s$ sú z $D(f)=(-\infty,\frac27) \bigcup (\frac27,\infty)$. Nerovnica $f(r) < f(s)$, t.j. $\frac{3r-5}{2-7r} < \frac{3s-5}{2-7s}$ je ekvivalentná s nerovnicou $\frac{s-r}{(2-7s)(2-7r)}>0$, ktorá platí, ak obidve čísla $r$ a $s$ sú v tom istom intervale, z ktorých sa skladá $D(f)$. Funkcia $f$ je teda rastúca v obidvoch intervaloch $(-\infty,\frac27)$ a $(\frac27,\infty)$, ale nie je rastúca (prečo ?). Kvôli určeniu ohraničenosti prepíšme pravidlo určujúce funkciu $f(x)=-\frac37 + \frac{\frac{29}{7}}{7x-2}$. Prvý člen neovplyvní ohraničenosť, pre hodnoty $x$ blízke číslu $\frac27$ nadobúda druhý výraz ľubovoľne malé záporné hodnoty, ak $x \in (-\infty,\frac27)$ a ľubovoľne veľké kladné hodnoty, ak $x \in (\frac27,\infty)$, funkcia nie je ohraničená, nemá teda ani maximum ani minimum. Ďalej

$$f(-r) = \frac{-3r-5}{2+7r} \neq f(r)\quad {\mathrm a} \quad f(-r) \neq -f(r),$$

funkcia teda nie je párna, ani nepárna, takisto nie je periodická.
Funkcia $g(x)=3-\sqrt{5-2x}$ je zložená z troch funkcií

$$g_1:\ y = 5-2x,\quad g_2:\ z = \sqrt{y},\quad {\mathrm a} \quad g_3:\ w = 3 - z.$$

Platí $g(x) = g_3 \circ\ g_2 \circ\ g_1(x)$. Pretože všetky tri funkcie sú prosté (to si ľahko overíte), $g$ je prostá. Funkcie $g_1$ a $g_3$ sú klesajúce a funkcia $g_2$ je rastúca, preto výsledná funkcia je rastúca. Pretože $D(g) = (-\infty,\frac52 \rangle$ a $g$ je rastúca, nadobúda v bode $\frac52$ maximálnu hodnotu $3$ a je zhora ohraničená. Pre čísla $x$ "blízke" $-\infty$ je $g_1(x)$ "blízke" $\infty$, $g_2 \circ\ g_1(x)$ taktiež a následne $g(x)$ je "blízke" $-\infty$. Preto $g$ nie je ohraničená zdola. V dôsledku svojho definičného oboru nemôže byť ani párna ani nepárna a ani periodická.
Keďže graf kvadratickej funkcie je ľahké načrtnúť, vlastnosti funkcie $h$ vyčítame z jej grafu. $h$ nie je prostá, klesá v intervale $-\infty,-\frac12$ a rastie v intervale $-\frac12,\infty$. Je zdola ohraničená s minimom $\frac{15}{4}$ v bode $-\frac12$ a zhora neohraničená. Nemá žiadnu z vlastností symetrie, jej graf je však symetrický podľa priamky $x=-\frac12$. $\clubsuit$

Ako sme sa mohli presvedčiť, niekedy je určovanie vlastností funkcie (aj pomerne jednoduchej) dosť komplikované. Najjednoduchšie je mať predstavu o jej grafe. V nasledujúcej kapitole sú popísané efektívnejšie techniky na určovanie vlastností funkcií.